Graphentheorie im Advent

Graphentheorie im Advent MATHEMATIK-KOLUMNE m Abend des 5. Dezembers werden die Kinder wieder ihre Stiefel rausstellen und hoffen, dass in der ANacht zum 6. Dezember vom Nikolaus etwas zum Naschen hineingesteckt wird. Dass der Nikolaus den Rest des Jahres in einem hübschen Fachwerkhaus wohnt, wissen die wenigsten, dabei kennt jedes Kind den Reim „Das ist das Haus vom Ni-ko-laus“. Für jede Silbe wird dabei eine Linie des Nikolaushauses gezogen und wenn man es richtig gemacht hat, sieht das am Ende so aus wie das Haus links. EC Das Finden des richtigen Weges durch das Gebälk ist eine kleine Aufgabe aus der mathematischen Dis- ziplin der Graphentheorie (in dieser Disziplin untersucht man die Eigenschaften von Liniennetzen, genannt Graphen). Es geht darum, das Haus in einem Zug zu zeichnen und dabei keine Linien doppelt zu ziehen. Entscheidend für einen erfolgreichen Weg durch das Haus des Nikolaus ist der Startpunkt, dies können zunächst irgendwelche Ecken oder Kreuzungspunkte, sogenannte Knoten sein. Die Linien nennt man Kan- AB ten. In einem Graphen sind die Knoten besonders wichtig, denn ist man an einem Knoten angekommen, muss man Entscheidungen darüber treffen, wie man weiterlaufen soll. Nun ist Knoten nicht gleich Knoten. Es gibt Knoten, bei denen eine ungerade Anzahl von Kanten zusammenlaufen: zum Beispiel die Knoten A und B. Alle anderen Knoten im Nikolaushaus sind gerade. Startet man bei einem ungeraden Knoten etwa A, so kann der Weg, wenn man alle Linien des Graphen genau einmal ablaufen möchte, nicht am gleichen ungeraden Knoten enden, sonst wäre dieser Knoten gerade. Daraus folgt, dass es noch einen zweiten un- geraden Knoten B geben muss bei dem man endet. Warum können wir nicht an einem geraden Knoten wie D, E oder F starten? Wäre zum Beispiel D der Startpunkt, ist offensichtlich, dass wir auch dort enden müss- ten. Gleiches gilt für die anderen geraden Knoten. Dadurch, dass wir von einem geraden Knoten starten, machen wir den Knoten ungerade, da dann nur noch eine ungerade Anzahl von unberührten Kanten vom Knoten weglaufen. Wir müssen also wieder zu ihm zurück, um den Graph zu schließen. Daraus folgt: Man kann einen Graphen ein- fach durchlaufen, wenn er nur gerade Knoten oder genau zwei ungerade Knoten hat. Letzteres trifft auf das Haus des Nikolaus zu. Der Mathematiker Le- onhard Euler hat sich 1736 mit einem ähnlichen Problem befasst, er wollte herausfinden ob es mög- lich sei, bei einem Spaziergang durch Königsberg alle sieben Brü- cken, die die vier Stadtteile verbin- den, genau einmal abzulaufen. Er konnte damals beweisen, dass das nicht geht und hat damit die Gra- phentheorie begründet. Auch wir können begründen, war- um das nicht geht. Wir betrachten die Stadtteile als Knoten, die Brücken als Kanten. Da zu jedem Knoten eine ungerade Anzahl von Brücken führt, haben wir vier ungerade Knoten. Damit wissen wir, dass das ein- fache Durchlaufen dieses Graphen nicht möglich ist. Von Matthias Ludwig Professor für Mathematik und ihre Didaktik an der PH Weingarten WuM 04 . 2009 http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Wirtschaftsinformatik & Management Springer Journals

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Publisher
Gabler Verlag
Copyright
Copyright © 2009 by Springer Fachmedien Wiesbaden
Subject
Economics / Management Science; Business Information Systems
ISSN
1867-5905
eISSN
1867-5913
D.O.I.
10.1007/BF03248221
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Abstract

MATHEMATIK-KOLUMNE m Abend des 5. Dezembers werden die Kinder wieder ihre Stiefel rausstellen und hoffen, dass in der ANacht zum 6. Dezember vom Nikolaus etwas zum Naschen hineingesteckt wird. Dass der Nikolaus den Rest des Jahres in einem hübschen Fachwerkhaus wohnt, wissen die wenigsten, dabei kennt jedes Kind den Reim „Das ist das Haus vom Ni-ko-laus“. Für jede Silbe wird dabei eine Linie des Nikolaushauses gezogen und wenn man es richtig gemacht hat, sieht das am Ende so aus wie das Haus links. EC Das Finden des richtigen Weges durch das Gebälk ist eine kleine Aufgabe aus der mathematischen Dis- ziplin der Graphentheorie (in dieser Disziplin untersucht man die Eigenschaften von Liniennetzen, genannt Graphen). Es geht darum, das Haus in einem Zug zu zeichnen und dabei keine Linien doppelt zu ziehen. Entscheidend für einen erfolgreichen Weg durch das Haus des Nikolaus ist der Startpunkt, dies können zunächst irgendwelche Ecken oder Kreuzungspunkte, sogenannte Knoten sein. Die Linien nennt man Kan- AB ten. In einem Graphen sind die Knoten besonders wichtig, denn ist man an einem Knoten angekommen, muss man Entscheidungen darüber treffen, wie man weiterlaufen soll. Nun ist Knoten nicht gleich Knoten. Es gibt Knoten, bei denen eine ungerade Anzahl von Kanten zusammenlaufen: zum Beispiel die Knoten A und B. Alle anderen Knoten im Nikolaushaus sind gerade. Startet man bei einem ungeraden Knoten etwa A, so kann der Weg, wenn man alle Linien des Graphen genau einmal ablaufen möchte, nicht am gleichen ungeraden Knoten enden, sonst wäre dieser Knoten gerade. Daraus folgt, dass es noch einen zweiten un- geraden Knoten B geben muss bei dem man endet. Warum können wir nicht an einem geraden Knoten wie D, E oder F starten? Wäre zum Beispiel D der Startpunkt, ist offensichtlich, dass wir auch dort enden müss- ten. Gleiches gilt für die anderen geraden Knoten. Dadurch, dass wir von einem geraden Knoten starten, machen wir den Knoten ungerade, da dann nur noch eine ungerade Anzahl von unberührten Kanten vom Knoten weglaufen. Wir müssen also wieder zu ihm zurück, um den Graph zu schließen. Daraus folgt: Man kann einen Graphen ein- fach durchlaufen, wenn er nur gerade Knoten oder genau zwei ungerade Knoten hat. Letzteres trifft auf das Haus des Nikolaus zu. Der Mathematiker Le- onhard Euler hat sich 1736 mit einem ähnlichen Problem befasst, er wollte herausfinden ob es mög- lich sei, bei einem Spaziergang durch Königsberg alle sieben Brü- cken, die die vier Stadtteile verbin- den, genau einmal abzulaufen. Er konnte damals beweisen, dass das nicht geht und hat damit die Gra- phentheorie begründet. Auch wir können begründen, war- um das nicht geht. Wir betrachten die Stadtteile als Knoten, die Brücken als Kanten. Da zu jedem Knoten eine ungerade Anzahl von Brücken führt, haben wir vier ungerade Knoten. Damit wissen wir, dass das ein- fache Durchlaufen dieses Graphen nicht möglich ist. Von Matthias Ludwig Professor für Mathematik und ihre Didaktik an der PH Weingarten WuM 04 . 2009

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Published: Jul 20, 2012

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