Conjectures uniformes sur les variétés abéliennes

Conjectures uniformes sur les variétés abéliennes Abstract We consider several conjectures on abelian varieties over number fields whose common feature is a bound that depends only on the dimension of the variety and the degree of the number field. For example, Coleman’s conjecture predicts that only a finite number of rings can occur as endomorphism rings once these two parameters are fixed. We show that this conjecture implies the existence of a small polarization as well as a uniform isogeny conjecture (without Faltings height) which in turn implies the uniform torsion conjecture. We then discuss several variants of the Lang–Silverman conjecture on heights and implications between them. In particular, we show how a rather weak version is, under Coleman’s conjecture, equivalent to much more precise versions. We build on Bertrand’s work to give a bound explicit in terms of the polarization. 1. Introduction 1.1. Conjecture de Coleman Nous considérons la conjecture suivante concernant les variétés abéliennes sur les corps de nombres. Conjecture E Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel ctel que, si Kest un corps de nombres de degré det Aune variété abélienne de dimension gsur K, alors le discriminant de l’anneau des endomorphismes EndAest au plus c. Précisons qu’ici l’anneau EndA est formé des endomorphismes de A définis sur K (voir les conventions générales à la fin de cette introduction) et que nous appelons discriminant la valeur absolue du déterminant de la matrice s×s de terme général TrEndA(φiφj) où φ1,…,φs est une base quelconque de EndA sur Z. Cette conjecture E peut être attribuée à Coleman d’après [3] : la version citée dans cet article diffère de la nôtre (nombre fini d’anneaux EndA à g,d fixés) mais lui est équivalente puisqu’à discriminant borné il n’y a qu’un nombre fini d’anneaux possibles (à isomorphisme près). Signalons aussi une fois pour toutes que nous pourrions considérer une version affaiblie de la conjecture E en autorisant la borne c à dépendre non seulement de d=[K:Q] mais de K lui-même. Cette remarque concerne tous les énoncés qui suivent qui valent aussi lorsque la dépendance en d est partout remplacée par une dépendance moins précise en K. Notre premier résultat montre que, sous la conjecture E, nous pouvons aussi borner de manière uniforme d’autres quantités associées à une variété abélienne. Théorème 1.1 Si la conjecture E vaut, pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel ctel que, si Kest un corps de nombres de degré det Aune variété abélienne de dimension gsur K, alors il existe un faisceau inversible Lample et symétrique sur Atel que degLA≤c ; pour toute variété abélienne A′sur Kisogène à Asur Kil existe une K-isogénie φ:A→A′avec degφ≤c ; CardA(K)tors≤c.  Les assertions (1) et (2) résultent assez directement des méthodes de [9]. Dans ce dernier texte sont établies des bornes explicites et inconditionnelles mais non uniformes c’est-à-dire qui, outre g=dimA et d=[K:Q], font apparaître la hauteur de Faltings stable hF(A) de A. Pour les rappeler rapidement, notons κ(A)=((14g)64g2dmax(1,hF(A),logd)2)1024g3. Alors (1) et (2) valent avec c=κ(A). En outre, les énoncés de [9] permettent aussi de montrer une version non uniforme de la conjecture E : le discriminant de EndA est au plus κ(A)2g (voir proposition 2.12). Le fait (3) que la conjecture E entraîne la conjecture uniforme de torsion nous demandera en revanche plus de travail. Nous montrerons l’énoncé plus précis suivant. Proposition 1.2 Soit Aune variété abélienne de dimension gsur un corps de nombres K. Si cest un réel tel que, pour toute variété abélienne A′sur Kisogène à Asur K, il existe une K-isogénie φ:A→A′avec degφ≤c, alors CardA(K)tors≤4gc4g2+1[K:Q]4g. En particulier, pour c=κ(A), nous obtenons une majoration explicite du nombre de points de torsion de A. Nous pouvons même montrer un peu plus précisément CardA(K)tors≤κ(A)4g+1 (voir proposition 2.9). Même s’il existe plusieurs autres méthodes pour borner ce nombre, il ne semble pas qu’une expression totalement explicite ait jamais été publiée. Dans le cas d’une variété abélienne simple et principalement polarisée, David (voir [5] et [6]) a donné des bornes où les exposants du degré et de la hauteur sont meilleurs mais la dépendance en g n’est pas explicite. La démonstration du théorème 1.1 est elle aussi explicite : elle fournit une formule en fonction de la constante de la conjecture E (voir proposition 2.13). On peut par exemple en déduire que si la conjecture E donne une borne polynomiale en d alors il en va de même des majorations produites par le théorème 1.1. L’argument peut aussi être limité à une classe de variétés abéliennes stable par isogénies et produits : si la conjecture E vaut pour les éléments d’une telle classe alors les bornes du théorème 1.1 s’en déduisent pour les éléments de cette classe. Rappelons aussi que la conjecture uniforme de torsion est connue lorsque g=1 par le résultat de Merel [12] (rendu explicite par Parent [15]) et dans le cas des variétés abéliennes CM (Silverberg [19], voir aussi [10]). Pour celles-ci la conjecture E vaut également, comme conséquence du résultat de Tsimerman [23]. 1.2. Minoration de hauteur Nous allons maintenant décrire plusieurs versions de la conjecture de Lang–Silverman pour faire ensuite le lien entre elles sous la conjecture E. Le principe commun est de minorer des valeurs de la hauteur de Néron-Tate sur A(K) en fonction d’une hauteur de A. Lang a d’abord formulé une conjecture pour les courbes elliptiques (voir [21, p. 233]) puis Silverman a proposé une version générale [20, p. 395]. Dans les deux cas, la hauteur de A employée était écrite comme la somme d’une hauteur modulaire et d’une contribution des places de mauvaise réduction. Dans ce texte, nous utilisons plutôt la hauteur de Faltings relative (comme dans [4, p. 263]). Pour cela, nous notons hF,K(A) la hauteur de Faltings de A sur K (c’est-à-dire calculée à l’aide d’un modèle de Néron sur l’anneau des entiers de K, sans faire d’extension pour avoir un modèle semi-stable) puis, pour alléger, h1(A)=max(1,hF,K(A)). Ensuite, pour minorer de manière intéressante la hauteur de Néron-Tate d’un point P∈A(K), il faut bien entendu supposer que celle-ci n’est pas nulle c’est-à-dire que P n’est pas un point de torsion. Lorsque A est une courbe elliptique ou, plus généralement, une variété abélienne simple, il est raisonnable de se limiter à cette hypothèse. Pour une variété arbitraire en revanche, elle ne suffit pas comme l’on s’en convainc en considérant une variété produit A=B×C et un point P=(Q,0) où Q∈B(K)⧹B(K)tors : la hauteur de Q ne peut pas contrôler la hauteur de C. Pour cette raison, la conjecture énoncée par Silverman [20, p. 395] est fausse. S. David [6] suggère de remplacer l’hypothèse que P n’est pas de torsion par : P n’est pas torsion sur EndA (ce qui signifie que P n’est de torsion modulo aucune sous-variété abélienne stricte de A). Ceci élimine le problème précédent mais semble un peu trop fort : par exemple, si A=A0n où A0 est simple, il n’y a pas de raison d’aller au-delà des points de torsion (puisque les hauteurs de A et de A0 sont comparables). Ainsi nous introduisons une hypothèse intermédiaire en ne considérant que la torsion sur le centre Z(EndA) de l’anneau EndA (elle se traduit aussi en disant que P n’est pas de torsion modulo certaines sous-variétés abéliennes strictes — celles qui sont stables sous EndA — voir ci-dessous et le lemme 3.3). Voici donc notre première version de la conjecture où hL désigne la hauteur de Néron-Tate associée à une polarisation L. Conjecture 1.3 Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne de dimension gsur K, Lune polarisation principale sur Aet P∈A(K)un point qui n’est pas de torsion sur Z(EndA), alors hL(P)≥c−1h1(A). Dans un premier temps, nous avons donc conservé une polarisation principale comme Silverman [20] et David [6]. Pour traiter le cas général, nous sommes guidés par un résultat de Bertrand [1] qui montre une minoration inconditionnelle proportionnelle à (degLA)1/g (sous l’hypothèse forte que P n’est pas de torsion sur EndA). Toutefois ceci ne peut pas être combiné directement avec la hauteur : une minoration en (degLA)1/gh1(A) serait fausse (voir paragraphe 3.4). Pour obtenir un énoncé plausible, nous introduisons les composantes isotypiques de A : ce sont les sous-variétés abéliennes de A isogènes à une puissance d’une variété abélienne simple et maximales pour l’inclusion. Ceci posé, notre deuxième avatar de la conjecture est le suivant. Conjecture 1.4 Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne de dimension gsur K, Lune polarisation sur Aet P∈A(K)un point sans torsion sur EndA, alors hL(P)≥c−1∑i=1s(degLAi)1/dimAih1(Ai) où A1,…,Assont les composantes isotypiques de A. Enfin, une autre façon d’envisager la question, inspirée par le résultat de David [6], consiste à faire apparaître une sous-variété obstructrice : lorsque le point P ne satisfait pas la minoration voulue, on contrôle une sous-variété abélienne B telle que P∈B+Ators. Ce point de vue nous conduit à la formulation suivante où la variété obstructrice B est en fait indépendante de P. Conjecture 1.5 Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne de dimension gsur Ket Lune polarisation sur A, alors il existe une sous-variété abélienne stricte Bde Avérifiant degLB≤cdegLAet un entier naturel Navec 1≤N≤cde sorte que, pour P∈A(K), ou hL(P)≥c−1h1(A)ou NP∈B. Signalons que cette conjecture serait fausse avec une majoration de degré plus forte degLB≤c(degLA)1−ɛ où ɛ>0 (voir paragraphe 3.4). Nous pouvons énoncer le second résultat principal de ce texte. Théorème 1.6 Si la conjecture E est vraie, alors les conjectures1.3, 1.4et1.5sont équivalentes. Cela signifie en particulier que si la conjecture E (conjecture de Coleman) et la conjecture 1.3 (variante assez proche de la conjecture de Silverman) sont vraies alors c’est également le cas des versions plus riches des conjectures 1.4 et 1.5. Au cours de la preuve du théorème 1.6, nous introduirons encore d’autres formulations (par exemple cantonnées aux variétés simples) équivalentes sous la conjecture E et nous montrerons également quelques implications inconditionnelles. Nous verrons aussi que, si toutes les conjectures sont vraies, alors la variété obstructrice B de la conjecture 1.5 peut être explicitement choisie comme B=A2+⋯+As où A1,…,As sont les composantes isotypiques de A ordonnées de sorte que h1(A1)≥h1(Ai) pour 1≤i≤s. Par ailleurs, la condition de la conjecture 1.3 que P n’est pas de torsion sous Z(EndA) s’exprime aussi plus concrètement à l’aide des composantes isotypiques A1,…,As de A : elle est équivalente à P∈A1+⋯+Ai−1+(Ai)tors+Ai+1+⋯+As pour tout 1≤i≤s (lemme 3.3). De la même façon que dans le paragraphe précédent, toutes les implications que nous démontrons sont explicites. Par exemple, nous pouvons exprimer les constantes apparaissant dans les conjectures 1.4 et 1.5 en fonction de celles des conjectures E et 1.3 (lorsque nous supposons vraies ces deux dernières). Pour un énoncé intermédiaire de ce type, on consultera par exemple la proposition 4.12. Comme nous nous intéressons seulement ici aux rapports entre les différentes formulations de la conjecture de Lang–Silverman, nous ne détaillons pas les résultats connus en direction de celle-ci. Rappelons simplement qu’à ce jour, elle n’est démontrée pour aucun couple (d,g) (quelle que soit la version). Nous renvoyons à [16] pour un passage en revue des résultats les plus significatifs (dont celui d’Hindry–Silverman en dimension 1 et celui de David en dimension quelconque). 1.3. Conventions et notations Dans ce texte, nous ne faisons jamais d’extension de corps implicite. Cela signifie que lorsque A est un schéma sur un corps K nous ne considérons que les propriétés de A et non celles de ses extensions AK′=A×SpecKSpecK′ où K′ est un surcorps de K. Par exemple, si A est une variété abélienne sur K, elle est dite simple si elle n’a pas de sous-variété abélienne stricte non nulle, que AK¯ soit simple ou non. De même, deux variétés abéliennes A et B sur K sont dites isogènes lorsqu’il existe un morphisme de K-schémas en groupes A→B surjectif et de noyau fini. La notation Hom(A,B) désigne les morphismes de K-schémas en groupes (et non Hom(AK¯,BK¯)) comme EndA=Hom(A,A) et ainsi de suite. Ceci vaut pour toutes les notions introduites, par exemple pour les composantes isotypiques ( AK¯ peut avoir plus de composantes isotypiques que A) même si nous rappellerons parfois pour le confort du lecteur que tel ou tel objet est défini sur K. Deux cas particuliers doivent être signalés. D’une part, nous conservons la terminologie usuelle pour les variétés abéliennes de type CM, définie à l’aide de l’anneau des endomorphismes de AK¯. Cela nous amènera à parler de variété abélienne complètement CM lorsque de plus tous les endomorphismes de AK¯ proviennent d’endomorphismes de A (voir paragraphe 2.2). D’autre part, nous commettons un léger abus de notations pour parler de polarisation. Une polarisation sur A est un morphisme A→A∨ de K-schémas de A vers sa duale dont l’extension à K¯ s’écrit ϕL pour un faisceau inversible symétrique et ample L sur AK¯. Par abus de langage, nous parlons de L comme de la polarisation qu’il définit même s’il n’est défini qu’à 2-torsion près et n’est pas en général défini sur K (cependant L⊗2 est uniquement déterminé par la polarisation et défini sur K). Ceci n’a pas d’incidence car les notions que nous utilisons ci-dessous sont définies par la polarisation : il s’agit de la hauteur de Néron-Tate hL sur A(K) et du degré degLV d’un fermé V de A. Nous employons la notation Z(A)=(A×A^)4 pour une variété abélienne A (pour mettre en œuvre l’astuce de Zarhin, voir lemme 4.6) et nous écrivons aussi Z(A) pour le centre d’un anneau A, aucune confusion n’étant possible. Pour finir cette introduction, disons quelques mots des ingrédients de nos démonstrations. Dans la partie suivante, des résultats algébriques sur les ordres maximaux (proposition 2.4) nous permettent de donner un théorème de structure pour le noyau d’une isogénie A→A lorsque EndA est un tel ordre, en nous appuyant notamment sur l’étude des variétés abéliennes ayant cette propriété présentée dans [18]. Nous en déduisons un critère pour qu’une isogénie cyclique soit minimale (proposition 2.6) dont la proposition 1.2 découle assez rapidement, modulo le résultat uniforme dans le cas CM. Pour passer au théorème 1.1, nous nous basons sur les énoncés de [9]. La partie 3 expose ensuite des résultats préparatoires en vue de la démonstration du théorème 1.6. En particulier, nous démontrons en détail des faits de base sur les composantes isotypiques (lemme 3.2), faute d’une référence adéquate. Nous exploitons aussi le théorème d’isogénie de [9] pour donner des comparaisons entre la hauteur d’une variété abélienne et celles de ses sous-variétés abéliennes (proposition 3.7). Nous concluons par un contre-exemple qui montre que certains renforcements de nos conjectures sont impossibles. Enfin, dans la dernière partie, après avoir énoncé plusieurs variantes des conjectures de Lang–Silverman, nous établissons une série d’implications entre elles dont résulte en particulier le théorème 1.6. Les différentes démonstrations, assez imbriquées, reposent entre autres sur un argument de Bertrand (lemme 4.11) et l’astuce de Zarhin intervient plusieurs fois. 2. Polarisations, isogénies et points de torsion Dans cette partie, nous démontrons la proposition 1.2 et le théorème 1.1. Nous commençons par des préliminaires d’algèbre non commutative. 2.1. Module fini sur un ordre maximal Soient n≥1 un entier et G un groupe abélien fini. Nous disons que G est formé de n copies s’il existe un groupe G0 et un isomorphisme G≃G0n. Bien entendu, si cette propriété vaut pour n, elle vaut pour ses diviseurs et elle vaut toujours pour n=1. Dans la suite, cette locution ne s’applique qu’aux groupes abéliens c’est-à-dire que nous disons qu’un module est formé de n copies lorsque c’est le cas du groupe abélien sous-jacent. Voici un exemple simple. Lemme 2.1 Soient ℓ≥1un entier et kun corps fini de caractéristique p. Tout module à droite fini sur l’anneau de matrices Mℓ(k)est formé de ℓ[k:Fp]copies. Démonstration. Un tel module M s’écrit comme k-espace vectoriel M=M(10⋱0)⊕M(01⋱0)⊕⋯⊕M(00⋱1)≃(M(10⋱0))ℓ (on montre que les facteurs sont deux à deux isomorphes en faisant agir les matrices de transpositions). Ainsi il existe n≥0 tel que M≃knℓ comme k-espace donc M≃(Z/pZ)nℓ[k:Fp] comme groupe.□ Voici maintenant un critère pour qu’un groupe soit formé de n copies (qui permet en fait de supposer que le groupe est un espace vectoriel sur Fp, comme c’était en particulier le cas dans le lemme précédent). Lemme 2.2 Soient n≥1un entier et Gun groupe abélien fini. Le groupe Gest formé de ncopies si et seulement si, pour tout nombre premier pet tout entier i≥0, le cardinal du quotient piG/pi+1Gest une puissance de pn. Démonstration. Si G=G0n alors piG/pi+1G≃(piG0/pi+1G0)n et le cardinal de piG0/pi+1G0 est une puissance de p puisque nous avons affaire à un Fp-espace vectoriel. Réciproquement, il existe une unique famille (presque nulle) d’entiers naturels eq,j telle que G≃∏q,j(Z/qjZ)eq,j où q parcourt les nombres premiers et j les entiers naturels non nuls. Alors piG/pi+1G≃∏j>i(Z/pZ)ep,j donc l’hypothèse affirme que n divise ∑j>iep,j. Nous en déduisons qu’il divise tous les eq,j puis le résultat.□ Pour le reste de ce paragraphe, nous nous plaçons dans la situation suivante. Soient D un corps de dimension finie sur Q, Z son centre, e=[D:Z]1/2 et O un ordre maximal de D. Le fait crucial suivant nous permettra d’employer le lemme 2.1. Lemme 2.3 Si Iest un idéal bilatère maximal de Oalors O/I≃Mℓ(k)pour un entier ℓ≥1et un corps fini kavec e=ℓ[k:O∩Z/I∩Z]. Démonstration. Nous utilisons le livre de Reiner [17] auquel renvoient toutes les références qui suivent. Tout d’abord notons que O∩Z est l’anneau des entiers OZ du corps de nombres Z et que p=I∩Z=I∩OZ en est un idéal maximal (voir (22.3)). Le complété Dp est une algèbre centrale simple sur Zp (7.8) donc s’écrit Mℓ(F) pour un corps F de centre Zp. Nous avons e2=[D:Z]=[Dp:Zp]=ℓ2[F:Zp]. Par (11.6), Op est un ordre maximal de Dp donc (voir (17.3)) est isomorphe à Mℓ(Δ) où Δ est l’unique ordre maximal de F. De plus Ip est un idéal bilatère maximal de Op donc Ip=radOp (22.4). Nous avons O/I≃Op/Ip≃Mℓ(Δ/radΔ) par (17.5). Ici Δ/radΔ est un corps fini que nous nommons k. Enfin, [k:OZ/p]=f(F/Zp) (définition page 140) et f(F/Zp)=[F:Zp]1/2 par (14.3) donc [k:OZ/p]=e/ℓ.□ Voici la conclusion. Proposition 2.4 Tout O-module à droite fini est formé de ecopies. Démonstration. En vertu du lemme 2.2, il suffit de montrer que, pour tout nombre premier p, un O/pO-module fini M a pour cardinal une puissance de pe. Or l’idéal bilatère pO s’écrit comme un produit d’idéaux bilatères maximaux [17, (22.10)] pO=∏i=1nIi. En filtrant M par ses quotients successifs Mj=M∏i=1j−1Ii/M∏i=1jIi ( 1≤j≤n) nous avons CardM=∏i=1nCardMi où chaque Mi est un O/Ii-module. Or, par les lemmes 2.1 et 2.3, Mi est formé de e copies.□ Ce résultat serait faux sans l’hypothèse de maximalité de O : dans les quaternions D=Q⊕Qi⊕Qj⊕Qk où i2=j2=k2=ijk=−1 ( Z=Q, e=2) considérons pour un nombre premier p l’ordre O=Z⊕Zpi⊕Zpj⊕Zpk ; alors le O-module à droite O/piO n’est pas formé de 2 copies, étant isomorphe comme groupe à Z/p2Z×(Z/pZ)2. 2.2. Isogénies Nous revenons aux variétés abéliennes. Considérons pour commencer une variété abélienne simple A sur un corps K de caractéristique nulle. Ici D=EndA⊗Q est un corps, nous notons Z son centre, e=[D:Z]1/2 et δ=[Z:Q] ainsi que g=dimA. Nous exploitons l’étude du paragraphe précédent pour établir le fait suivant. Lemme 2.5 Soient n≥1un entier et φ:An→Anune isogénie. Si EndAest maximal alors Kerφest formé de 2g/δecopies. Démonstration. Nous pouvons supposer que K est un sous-corps de C. Désignons alors par t et Ω l’espace tangent et le réseau des périodes de AC. Le groupe Kerφ s’écrit dφ−1(Ωn)/Ωn ou Ωn/dφ(Ωn) après application de l’isomorphisme dφ:tn→tn. Si nous choisissons un entier N≥1 tel que Kerφ⊂Ker[N], nous pouvons même écrire Kerφ≃(Ω/NΩ)n/dφ(Ω/NΩ)n. L’intérêt est que Ω/NΩ est un O/NO-module libre par maximalité de O=EndA : en effet, il suffit de le voir pour N=pf ( p premier, f≥1) et alors Ω/NΩ≃Ω⊗Zp/(N·Ω⊗Zp) tandis que Ω⊗Zp est un module libre sur O⊗Zp [11, lemme 4.1]. Ainsi par calcul des rangs, Ω/NΩ≃(O/NO)2g/δe2 puis Kerφ≃(On/M·On)2g/δe2 où M∈Mn(O) est la matrice correspondant à φ. Par la proposition 2.4, le O-module à droite On/M·On est formé de e copies d’où le résultat.□ Bien entendu, ce lemme ne donne aucune information lorsque δe=2g. Cette égalité signifie que A est de type CM [14, p. 183] et que tous les endomorphismes de AK¯ sont définis sur K. Nous dirons que A est complètement CM ou CCM en abrégé (en accord avec la terminologie de [10]). Si nous excluons ce cas, nous pouvons démontrer la généralisation suivante du fait qu’une isogénie cyclique entre courbes elliptiques non CM est minimale. Proposition 2.6 Soient Kun corps de caractéristique nulle, Aet A′deux variétés abéliennes sur Ket φ:A→A′une K-isogénie cyclique. Si EndAest maximal et si Ane contient aucune sous-variété abélienne simple et complètement CM alors Hom(A,A′)=φ·EndA. Démonstration. D’après les résultats de [18, 1.6], la maximalité de EndA entraîne l’existence de sous-variétés abéliennes simples A1,…,As de A deux à deux non isogènes telles que A est un facteur direct d’un produit ∏i=1sAini pour des entiers ni≥1. De plus chaque EndAi est maximal. Si χ:A→A est une isogénie, on peut l’étendre en une isogénie χ′:∏i=1sAini→∏i=1sAini de sorte que Kerχ≃Kerχ′ (puisque A est facteur direct). De plus χ′ est le produit d’isogénies χi:Aini→Aini et, par le lemme 2.5, Kerχi≃Gimi pour un groupe Gi et mi≥2 puisque par hypothèse Ai n’est pas CCM. Ainsi Kerχ≃∏i=1sGimi et nous en déduisons que si N est un entier tel que le groupe N·Kerχ est cyclique alors ce groupe est trivial. Considérons maintenant une isogénie ψ:A→A′. Si N=degψ, il existe une isogénie ψ′:A′→A telle que ψ◦ψ′=[N]. Définissons χ=ψ′◦φ∈EndA. Si x∈Kerχ alors φ(x)∈Kerψ′⊂Ker[N] donc Nx∈Kerφ. Ceci entraîne que N·Kerχ est contenu dans le groupe cyclique Kerφ donc, par ce qui précède, est trivial. Par suite Kerχ⊂Ker[N] donc il existe α∈EndA tel que [N]=α◦χ. Maintenant ψ◦χ=ψ◦ψ′◦φ=[N]◦φ=φ◦[N]=φ◦α◦χ puis, χ étant une isogénie, ψ=φ◦α∈φ·EndA. Soit finalement β∈Hom(A,A′). La composante neutre du noyau de β est une sous-variété abélienne B de A (définie sur K) donc d’après [18, 1.2] facteur direct : A=B+C, B∩C=0 pour une sous-variété abélienne C de A. Nous choisissons un quasi-supplémentaire B′ de C′=β(C) dans A′ puis une isogénie γ:B→B′. Soit alors ψ:A→A′ l’isogénie donnée par γ sur B et β sur C. Nous avons vu ψ∈φ·EndA. De plus par construction β=ψ◦π où π:A→A est le projecteur sur C de noyau B. Par suite β∈φ·EndA.□ En présence de multiplication complexe, cette proposition tombe en défaut : il peut exister une infinité d’isogénies cycliques non minimales. Par exemple, si E est une courbe elliptique avec EndE=Z[i], alors pour chaque nombre premier p≡1[4] il existe a,b∈Z tels que p=a2+b2 donc l’isogénie a+ib:E→E est de degré p et par conséquent cyclique. 2.3. Torsion Nous démontrons ici la proposition 1.2 et une majoration inconditionnelle de CardA(K)tors. L’idée est qu’un point de torsion définit une isogénie cyclique. Nous souhaitons donc appliquer la proposition 2.6. Pour nous placer sous ses hypothèses, nous pouvons assurer un anneau d’endomorphismes maximal à l’aide d’une isogénie mais il faut traiter différemment le cas CM. Heureusement, la conjecture uniforme de torsion est en fait démontrée dans ce cas par Silverberg. Les résultats plus précis de [10] ont la conséquence suivante. Proposition 2.7 Soit Aune variété abélienne de dimension gsur un corps de nombres K. Si Aest un produit de variétés abéliennes isotypiques CCM alors CardA(K)tors≤4g[K:Q]4g. Démonstration. D’après le théorème 2 de [10] (qui s’étend immédiatement à un produit), nous avons CardA(K)tors≤X2g où X est le plus grand entier tel que φ(X)≤[K:Q]. On vérifie facilement X≤2φ(X)2 d’où le résultat.□ Démonstration de la proposition1.2. D’après [18, 1.1], A est isogène sur K à une variété abélienne A1 telle que EndA1 est un ordre maximal. De plus A1 est produit de facteurs simples donc nous pouvons écrire A1=B×C où tous les facteurs de C sont CCM alors qu’aucun facteur de B ne l’est. Soit P∈B(K)tors. Soit ψ:B→B1 l’isogénie dont le noyau est engendré par P. Posons A2=B1×C. Notons φi:A→Ai ( i=1,2) et χ:A1→A des isogénies de degrés minimaux. Par hypothèse, degφi≤c et degχ≤c2g−1 (puisque degχ≤degχ′ où χ′:A1→A est l’isogénie telle que χ′◦φ1=[degφ1]). La proposition 2.6 affirme Hom(B,B1)=ψ·EndB d’où Hom(A1,A2)=(ψ×idC)·EndA1 d’où l’on tire c2g≥degφ2◦χ≥degψ×idC=degψ=ord(P).Ainsi CardB(K)tors≤c2g·2dimB≤c4g2 tandis que, par la proposition 2.7, CardC(K)tors≤4g[K:Q]4g ( dimC≤g). Nous obtenons CardA1(K)tors≤4g[K:Q]4gc4g2 et nous concluons au moyen de l’isogénie φ1 qui permet d’écrire CardA(K)tors≤(degφ1)CardA1(K)tors puisque A(K)tors⊂φ1−1A1(K)tors.□ Pour donner une version inconditionnelle plus précise, nous utiliserons le lemme auxiliaire suivant pour la fonction κ(·) définie dans l’introduction. Lemme 2.8 Si Best une sous-variété abélienne d’une variété abélienne Asur un corps de nombres alors κ(B)(dimB)−3≤κ(A)(dimA)−3. Si A′est une variété abélienne isogène à Aalors κ(A′)≤κ(A)19/16. Démonstration. Nous déduisons la première assertion de la majoration hF(B)≤hF(A)+(1/2)logκ(A) fournie par le corollaire 1.5 de [9]. En effet, si d est le degré du corps de base et g=dimA, (1/2)logκ(A) vaut 512g3(64g2log(14g)+logd+2log max(1,logd,hF(A)))≤512g3(64g2log(14g)+3)max(1,logd,hF(A))≤512g6(64log(14)+3)max(1,logd,hF(A)). Avec 64log(14)+3≤28−1, on a max(1,logd,hF(B))≤217g6max(1,logd,hF(A)). En majorant (217g6)2≤(14g)12, nous voyons que κ(B)(1024(dimB)3)−1 est au plus (14g)64(dimB)2+12dmax(1,logd,hF(A))2. Si B≠A, le résultat découle de 64(dimB)2+12≤64(g−1)2+12≤64g2. Si B=A, il est tautologique. Pour A′, la même majoration hF(A′)≤hF(A)+(1/2)logκ(A) vaut par le théorème 1.4 de [9] donc nous calculons de même et concluons par 64g2+12≤76g2=(19/16)64g2.□ La démarche utilisée pour démontrer la proposition 1.2 donne aussi les bornes non uniformes suivantes. Proposition 2.9 Soit Aune variété abélienne de dimension gsur un corps de nombres K. Le groupe fini A(K)torsest d’exposant au plus κ(A)35/16et de cardinal au plus κ(A)4g+1. Démonstration. Comme dans la preuve dans la proposition 1.2, notons A1=B×C une variété abélienne isogène à A telle que CardC(K)tors≤(4[K:Q]4)dimC et B ne contient pas de variété abélienne simple CCM. Si P∈B(K)tors, la proposition 2.6 assure que l’isogénie ψ:B→B1 de noyau engendré par P est minimale donc d’après le théorème 1.4 de [9] de degré au plus κ(B). Par suite l’ordre d’un élément de A1(K)tors est majoré par κ(B)(4[K:Q]4)dimC≤κ(B)κ(C)≤κ(A1)((dimB)3+(dimC)3)/g3≤κ(A1) d’après le lemme 2.8 qui donne aussi κ(A1)≤κ(A)19/16. Grâce à l’isogénie φ1:A→A1 choisie de degré minimal donc ≤κ(A), nous voyons que l’exposant de A(K)tors est majoré par (degφ1)κ(A1)≤κ(A)35/16. Pour le cardinal, choisissons aussi deux isogénies φ2:A→A2=B1×C et χ:A1→A de degrés minimaux. Le théorème 1.4 de [9] assure degφ2≤κ(A) et degχ≤κ(A). Comme dans la démonstration de la proposition 1.2, nous voyons que l’exposant de B(K)tors est majoré par degφ2◦χ donc CardB(K)tors≤κ(A)4dimB. Puisque 2[K:Q]≤κ(A) nous avons CardC(K)tors≤κ(A)4dimC d’où CardA1(K)tors≤κ(A)4g et, grâce à φ1, CardA(K)tors≤κ(A)4g+1.□ 2.4. Discriminants Nous terminons cette partie en démontrant le théorème 1.1 ainsi que la majoration de discriminant annoncée dans l’introduction. Il s’agit d’abord de faire le lien entre le discriminant de EndA et les quantités employées dans [9]. Nous allons manipuler deux notions de trace sur EndA⊗R : la trace intrinsèque TrEndA, mentionnée dans l’introduction, définie par la représentation régulière et la trace TrA utilisée dans [9, p. 2063] (où elle était notée simplement Tr) qui dépend de l’action des endomorphismes sur A. Grâce à l’involution de Rosati φ↦φ†, l’espace EndA⊗R est muni de la norme euclidienne ∣φ∣=TrA(φφ†)1/2 qui fait de EndA un réseau euclidien. Nous notons comme dans [9] vol(EndA) son covolume et nous désignons par t son rang. Lemme 2.10 Nous avons g−tdisc(EndA)≤vol(EndA)2≤(2g)tdisc(EndA). Démonstration. La démonstration de la proposition 2.9 de [9] dit que vol(EndA)2 s’écrit comme la valeur absolue du déterminant de la matrice t×t de terme général TrA(φiφj) où φ1,…,φt est une base quelconque de EndA. Vu la définition du discriminant, il suffit de montrer g−1TrEndA≤TrA≤2gTrEndA sur EndA⊗R. Nos deux traces étant invariantes par conjugaison par une isogénie, nous pouvons supposer que A s’écrit comme le produit ∏i=1sAi de ses composantes isotypiques (voir lemme 3.2 ci-dessous). Alors EndA≃∏i=1sEndAi donc TrA=∑i=1sTrAi et TrEndA=∑i=1sTrEndAi. Comme EndAi⊗Q est une algèbre simple, les traces TrAi et TrEndAi sont toutes deux multiples de la trace réduite [14, p. 179–82]. Ainsi TrAi(idAi)TrEndAi=TrEndAi(idAi)TrAi puis, comme TrAi(idAi)=2dimAi et 1≤TrEndAi(idAi)=rgEndAi≤2(dimAi)2, nous avons g−1TrEndAi≤(dimAi)−1TrEndAi≤TrAi≤2dimAi·TrEndAi≤2gTrEndAi d’où le résultat.□ En vertu de cette comparaison, nous pouvons maintenant entièrement travailler dans le cadre de [9]. Nous nous plaçons dans la situation de la partie 6 de cet article dont nous reprenons les notations. En particulier, A″ est une variété abélienne isogène à A et Λ=Λ(Hom(Z(A″),Z(A))) désigne le dernier minimum du réseau euclidien Hom(Z(A″),Z(A)). Lemme 2.11 Nous avons vol(EndA)≤Λ4t. Démonstration. Commençons par majorer vol(EndA)≤vol(EndZ(A))1/32≤Λ(EndZ(A))rgEndZ(A)/32 par [9, p. 2068] et l’inégalité d’Hadamard. Nous avons ensuite rgEndZ(A)=64t. Par le lemme 3.4 de [9] il vient Λ(EndZ(A))≤Λ(Hom(Z(A),Z(A″)))Λ(Hom(Z(A″),Z(A)))=Λ2 où l’égalité résulte de l’isométrie entre Hom(Z(A),Z(A″)) et Hom(Z(A″),Z(A)) [9, p. 2066].□ Ces deux lemmes suffisent pour majorer le discriminant inconditionnellement (nous rappelons que κ(A) a été défini dans l’introduction). Proposition 2.12 Soient Aune variété abélienne de dimension gsur un corps de nombres Ket K′une extension de K. Alors disc(EndAK′)≤κ(A)rgEndAK′/g≤κ(A)2g. Démonstration. Nous établissons ceci comme les théorèmes principaux de [9]. Par ce qui précède, nous pouvons rajouter à la proposition 6.3 la majoration disc(EndA)g/t≤ggΛ8g. Cette quantité ggΛ8g est inférieure à la borne (10g)5g(ΛΛ′)4g∏i=1tΛi8ni2gidi qui apparaît à la fin de la partie 6 si nous choisissons A′=A pour avoir Λ′=Λ. Le reste de la démonstration ne subit aucune modification : la partie 9 permet de traiter l’extension de corps (et autorise le choix A′=A) puis la majoration du lemme 9.3 s’applique aussi à disc(EndA)g/t étant donné que la démonstration de celui-ci n’utilise que la borne ci-dessus et le lemme 9.4 donne la conclusion.□ Enfin, nous démontrons le théorème 1.1 sous la forme plus précise et explicite suivante. Proposition 2.13 Soient Kun corps de nombres et Aune variété abélienne de dimension gsur K. Si γest un réel tel que, pour tout couple (C,C′)de variétés abéliennes sur Kisogènes à A, on a disc(EndC×C′)≤γalors il existe un faisceau inversible Lample et symétrique sur Atel que degLA≤(4g)8g3γ3g/4 ; pour toute variété abélienne Bsur Kisogène à Ail existe deux isogénies φ:A→Bet ψ:B→Atelles que (degφ)(degψ)≤(4g)16g3γ2g ; CardA(K)tors≤(4g)19g4[K:Q]4gγ9g2/4. Démonstration. En vertu du lemme 2.10, nous utiliserons l’hypothèse sous la forme vol(EndC×C′)≤(4g)4g2γ1/2. Nous choisissons un ordre maximal O de EndA⊗Q contenant EndA et posons NA=[O:EndA]. D’après le théorème 1.1 de [18], il existe une variété abélienne A′ et deux isogénies φA:A→A′ et ψA:A′→A de sorte que ψA◦φA=[NA] et EndA′≃O. D’une part, nous avons NA=vol(EndA)/vol(EndA′)≤vol(EndA) (voir [9, proposition 2.9]). D’autre part, la maximalité de EndA′ montre ([18, théorème 1.2]) que A′ s’écrit comme un produit de variétés abéliennes simples : A′=∏i=1sAi. Notons gi=dimAi et di=rgEndAi≤2gi. (1) Fixons un faisceau inversible ample et symétrique Li sur Ai tel que degLiAi est minimal. Le théorème 4.5 de [9] entraîne degLiAi≤gi!(7gi3/2)gi(h0(Ai,Li)h0(A^i,L^i))di/2vol(Hom(Ai,A^i))gi où L^i est une polarisation sur A^i choisie comme dans [9, p. 2075] et le volume est calculé par rapport à la métrique de Rosati définie par Li et L^i. Par la proposition 4.1 (1) de [9] nous avons en particulier 1≤(h0(A^i,L^i)h0(Ai,Li))di/2vol(Hom(A^i,Ai))gi donc nous trouvons en multipliant degLiAi≤gi!(7gi3/2)givol(Hom(Ai,A^i))givol(Hom(A^i,Ai))gi≤gi!(7gi3/2)givol(End(Ai×A^i))gi (voir, dans [9], la proposition 2.9 et la formule pour le produit page 2068). Nous définissons ensuite L′ sur A′ par produit des Li puis L=φA*L′. Alors degLA=degφA·g!∏i=1sgi!−1degLiAi≤NA2g(2g)3gvol(End(A′×A′^))g≤(2g)3gvol(EndA2)g/2vol(End(A′×A′^))g puisque vol(EndA2)=vol(EndA)4. Les deux volumes qui apparaissent sont majorés par (4g)4g2γ1/2 et le résultat suit car (2g)3g≤(4g)2g3. (2) Nous associons à B (comme ci-dessus pour A) une variété abélienne B′ produit de simples et des isogénies φB:B→B′ et ψB:B′→B avec ψB◦φB=[NB] où NB≤vol(EndB). Nous écrivons B′=∏i=1sBi où Bi est isogène à Ai. Par le lemme 4.1 (1) de [9], nous avons des isogénies φi:Ai→Bi et ψi:Bi→Ai avec degφi·degψi≤vol(EndAi×Bi)2gi/di. Il suffit donc de poser φ=ψB◦(∏i=1sφi)◦φA et ψ=ψA◦(∏i=1sψi)◦φB. Nous avons degφ·degψ≤(NANB)2g∏i=1svol(EndAi×Bi)2gi≤vol(EndA×B)2gvol(EndA′×B′)2g≤((4g)4g2γ1/2)4g. (3) Nous procédons comme dans la démonstration de la proposition 1.2 : si Ai n’est pas CCM, nous notons Pi un point de Ai(K)tors d’ordre maximal et ψi:Ai→Ci l’isogénie de noyau engendré par Pi ; la proposition 2.6 montre ici directement que ψi est de degré minimal donc en utilisant le lemme 4.1 (1) de [9] comme ci-dessus, nous avons ord(Pi)=degψi≤vol(EndAi×Ci)2gi/di. Avec CardAi(K)tors≤ord(Pi)2gi, il vient CardAi(K)tors≤vol(EndAi×Ci)4gi2/di et nous en déduisons CardA(K)tors≤NA2g4g[K:Q]4gvol(EndA′×C′)4g2 où C′=∏i=1sCi (on choisit Ci=Ai si Ai est CCM). Avec l’estimation NA2g≤vol(EndA2)g/2 nous aboutissons à CardA(K)tors≤4g[K:Q]4g((4g)4g2γ1/2)4g2+g/2 et un calcul conclut.□ 3. Résultats auxiliaires Nous réunissons ici quelques énoncés préliminaires avant d’aborder la démonstration du théorème 1.6 dans la partie suivante. 3.1. Degré d’une somme Nous commençons par une inégalité purement géométrique. Proposition 3.1 Soient Kun corps, Aune variété abélienne sur K, Lune polarisation sur Aet B1, B2deux sous-variétés abéliennes de A. Alors h0(B1+B2,L)h0(B1∩B2,L)≤h0(B1,L)h0(B2,L).De plus cette inégalité est une égalité si et seulement si B1contient l’orthogonal de B2dans B1+B2. Démonstration. Nous supposons sans perte de généralité que A=B1+B2. Dans un premier temps, nous considérons le cas où B1∩B2 est un schéma fini. Ici l’application somme π:B1×B2→A est une isogénie de noyau B1∩B2 donc de degré h0(B1∩B2,L) L’inégalité de l’énoncé découle alors directement du corollaire 4 de [7]. De plus le théorème 3 qui le précède nous dit qu’il y a égalité si et seulement si π*L≃p1*(L∣B1)⊗p2*(L∣B2). Il nous reste à voir que cette condition équivaut à B2⊥⊂B1 ou encore, par dimension, à B1⊂B2⊥. Par définition de l’orthogonal, cette dernière inclusion signifie que (τx*L)∣B2≃L∣B2 pour tout x∈B1(K¯). Comme (τx*L)∣B2≃(π*τx*L)∣B2≃(τ(x,0)*π*L)∣B2, nous voyons immédiatement que si π*L≃p1*(L∣B1)⊗p2*(L∣B2) alors B1⊂B2⊥. Réciproquement, nous appliquons le lemme de la balançoire [14, corollaire 6 p. 54] au faisceau M=π*L⊗p2*(L∣B2)⊗−1 sur B1×B2 : si x∈B1(K¯) nous avons M∣{x}×B2≃(τx*L)∣B2⊗L∣B2⊗−1 en identifiant {x}×B2 et B2 ; ainsi, d’après B1⊂B2⊥, cette restriction est triviale pour tout x donc le lemme de la balançoire montre que M s’écrit sous la forme p1*L′ où L′∈Pic(B1) ; comme M∣B1×{0}≃L∣B1 il vient L′≃L∣B1 puis le résultat. Dans le cas général, notons C la composante neutre de B1∩B2 et D l’orthogonal de C dans B2. Nous abrégeons aussi h0(·,L) en h0(·). Comme B2=C+D, nous avons B1∩B2=B1∩(C+D)=C+(B1∩D) avec C⊂B1. Par suite, les schémas en groupes finis (B1∩B2)/C et (B1∩D)/(C∩D) sont isomorphes d’où l’on tire h0(C∩D)h0(B1∩B2)=h0(C)h0(B1∩D). En outre, par la première partie, nous avons h0(C∩D)h0(B2)=h0(C)h0(D) (cas d’orthogonalité) et h0(A)h0(B1∩D)≤h0(D)h0(B1) (grâce à A=B1+D) avec égalité si et seulement si D⊥⊂B1. En combinant nous avons bien h0(A)h0(B1∩B2)≤h0(B1)h0(B2) et il suffit de vérifier que D⊥⊂B1 équivaut à B2⊥⊂B1. Or D⊥=C+B2⊥ : l’inclusion C+B2⊥⊂D⊥ est claire et les deux membres ont la même dimension car C∩B2⊥⊂B2∩B2⊥ est fini.□ Pour le cas d’égalité lorsque B1∩B2 est fini l’on retrouve un résultat de Bertrand [2, théorème 3]. 3.2. Composantes isotypiques Une variété abélienne sur un corps K est dite isotypique si elle est isogène à la puissance d’une variété abélienne simple. Toutes les sous-variétés abéliennes et tous les quotients d’une variété abélienne isotypique sont isotypiques. Si A est une variété abélienne, on appelle composantes isotypiques de A ses sous-variétés abéliennes isotypiques maximales. Voici les propriétés élémentaires de ces composantes. Lemme 3.2 Soient Aune variété abélienne et (Ai)i∈Ila famille de ses composantes isotypiques. L’ensemble Iest fini. L’application de somme ∏i∈IAi→Aest une isogénie. Si φ:∏j∈JBjnj→Aest une isogénie où les Bisont des variétés abéliennes simples deux à deux non isogènes et njdes entiers naturels non nuls alors il existe une bijection σ:J→Itelle que φ(Bjnj)=Aσ(j). Si i,j∈Iet i≠jalors Hom(Ai,Aj)=0. Si J⊂I, les sous-variétés abéliennes ∑i∈JAiet ∑i∈I⧹JAisont orthogonales pour toute polarisation de A. Si Best une sous-variété abélienne non nulle de A, les composantes isotypiques de Bsont les éléments non nuls de la famille des composantes neutres des B∩Ai, i∈I. Tout endomorphisme de Alaisse stable chacun des Aiet l’application induite EndA→∏i∈IEndAiest injective de conoyau fini. Les sous-variétés abéliennes de Astables sous EndAsont les ∑i∈JAioù J⊂I. Démonstration. Nous utiliserons ci-dessous le fait que si B et B′ sont deux sous-variétés abéliennes de A telles que Hom(B,B′)=0 alors B∩B′ est fini. En effet si B∩B′ contenait une sous-variété abélienne non nulle C alors nous pourrions composer une isogénie B→B^, le morphisme surjectif B^→C^ (dual de C↪B), une isogénie C^→C et l’inclusion C↪B′ pour obtenir un morphisme non nul B→B′. Nous supposons par ailleurs dans toute la suite que A est non nulle (sinon le lemme est clair). Choisissons arbitrairement des isogénies Ai→Dimi pour i∈I où Di est simple et mi≥1. Soient i,j∈I avec i≠j. Si Di et Dj sont isogènes alors nous avons des isogénies Dimi+mj→Dimi×Djmj→Ai×Aj donc un morphisme surjectif Dimi+mj→Ai+Aj. Ceci entraîne que Ai+Aj est isotypique. Par maximalité Ai+Aj=Ai=Aj ce qui est absurde. Ainsi Di et Dj ne sont pas isogènes donc Hom(Di,Dj)=0 puis Hom(Dimi,Djmj)=Mmj,mi(Hom(Di,Dj))=0. Par isogénies, nous avons (4). Montrons maintenant par récurrence sur s≥1 que, pour tout J⊂I de cardinal s, la somme ∏j∈JAj→∑j∈JAj est une isogénie. Ceci est tautologique pour s=1. Supposons l’assertion vraie pour un entier s et considérons un ensemble de cardinal s+1 sous la forme J∪{i} où CardJ=s. Par hypothèse de récurrence, il suffit de démontrer que Ai×∑j∈JAj→Ai+∑j∈JAj est une isogénie, autrement dit que Ai∩∑j∈JAj est fini. Or nous avons Hom(Ai,∏j∈JAj)=∏j∈JHom(Ai,Aj)=0 par (4) donc, par isogénie, Hom(Ai,∑j∈JAj)=0 et la remarque liminaire permet de conclure notre raisonnement par récurrence. Nous en déduisons (1) puisque si J est une partie finie de I nous avons CardJ≤∑j∈JdimAj=dim∑j∈JAj≤dimA. Si ∑i∈IAi≠A il existe une sous-variété abélienne simple B de A telle que B∩∑i∈IAi est fini. Mais B est simple donc isotypique donc contenue dans une sous-variété isotypique maximale, c’est-à-dire l’une des Ai donc B⊂∑i∈IAi, contradiction. Ceci établit (2). Prouvons (3). Si j∈J, la sous-variété abélienne φ(Bjnj) est isotypique donc il existe σ(j)∈I tel que φ(Bjnj)⊂Aσ(j). Nous avons ∑j∈Jφ(Bjnj)=A donc A=∑j∈JAσ(j)=∑i∈σ(J)Ai ce qui entraîne σ(J)=I. Si j,k∈J, j≠k et σ(j)=σ(k) alors φ(Bjnj×Bknk)⊂Aσ(j) donc Bjnj×Bknk est isotypique ce qui est absurde. Ainsi σ est une bijection et dimA=∑j∈Jdimφ(Bjnj)≤∑j∈JdimAσ(j)=dimA conduit à φ(Bjnj)=Aσ(j) pour tout j∈J. Pour (5), notons B=∑i∈JAi et B′=∑i∈I⧹JAi. Par (2) et (4), B×B′→A est une isogénie et Hom(B′,B)=0. Si une sous-variété C de A est telle que la somme B×C→A est une isogénie alors A/B,B′,C sont isogènes comme B,A/B′,A/C. En particulier Hom(C,A/B′)=0 donc la composée C↪A→A/B′ est nulle d’où C=B′. Ceci s’applique à C=B⊥ pour une polarisation quelconque de A. (6) Notons Ci pour i∈I la composante neutre de B∩Ai et (Bj)j∈J la famille des composantes isotypiques de B. Ce sont des sous-variétés isotypiques de A donc si j∈J il existe σ(j)∈I tel que Bj⊂Aσ(j). Il vient Bj⊂Cσ(j)⊂B et, comme Cσ(j) est isotypique, Bj=Cσ(j) par maximalité de Bj. Les composantes de B sont donc bien de la forme annoncée. Réciproquement si Ci≠0 alors il existe j∈J tel que Ci⊂Bj=Cσ(j). Ici Ai∩Aσ(j) est infini donc i=σ(j) et Ci=Bj. (7) Soient φ∈EndA et i∈I. La sous-variété abélienne φ(Ai), quotient de Ai, est isotypique donc φ(Ai)⊂Aj pour un j∈J. Ainsi φ induit un morphisme φi:Ai→Aj. Si φ(Ai)≠0 alors φi≠0 force i=j par (4) donc φ(Ai)⊂Ai. Si φ(Ai)=0 nous pouvons aussi choisir j=i pour avoir dans tous les cas φi∈EndAi. Ceci fournit bien un morphisme d’anneaux EndA→∏i∈IEndAi, φ↦(φi)i∈I. Si tous les φi sont nuls, φ(A)=φ(∑i∈IAi)=∑i∈Iφi(Ai)=0 d’où l’injectivité. Si ψi∈EndAi pour tout i∈I, nous pouvons former ψ=(ψi)i∈I:∏i∈IAi→A. Si N est le degré de l’isogénie (2) alors Nψ se factorise à travers cette isogénie en φ∈EndA. Il vient φi=Nψi donc le conoyau de notre application est annulé par N donc fini. (8) Par (6) et (7), si B⊂A est stable sous EndA et i∈I, alors la composante neutre Ci de B∩Ai est stable sous EndAi. Si Ci≠0 il existe une surjection Cini→Ai donc Hom(Ci,Ai)·Ci=Ai. Fixons une surjection f:Ai→Ci telle que f∣Ci soit la multiplication [N]∈EndCi par un entier naturel non nul N. Ainsi f(Ci)=[N]Ci=Ci donc Ai=Hom(Ci,Ai)·f(Ci)⊂EndAi·Ci. Par stabilité Ci=Ai. Ainsi si J={i∈I∣Ci≠0} alors B=∑i∈JAi.□ Nous pouvons donner la caractérisation suivante annoncée dans l’introduction. Lemme 3.3 Soient Aune variété abélienne non nulle sur un corps Ket (Ai)i∈Ises composantes isotypiques. Un point P∈A(K¯)est de torsion sur Z(EndA)si et seulement s’il existe i∈Itel que P∈∑j∈I⧹{i}Aj(K¯)+A(K¯)tors. Démonstration. Si A est isotypique, Z(EndA)⊗Q=Z(EndA⊗Q) est un corps de nombres : en effet EndA⊗Q est invariant par isogénie et, si A est la puissance d’une variété simple, EndA⊗Q=Mn(D) pour un corps D ; ainsi Z(EndA)⊗Q≃Z(Mn(D))≃Z(D). Par conséquent dans ce cas tout élément non nul de Z(EndA) divise un entier naturel non nul donc P∈A(K¯) est de torsion sur Z(EndA) si et seulement s’il est de torsion sur Z c’est-à-dire P∈A(K¯)tors. Si A est produit de variétés isotypiques, A=∏i∈IAi, alors P=(Pi)i∈I est de torsion sur Z(EndA)=∏i∈IZ(EndAi) si et seulement si l’un des Pi est de torsion. En général, on conclut grâce à l’isogénie ∏i∈IAi→A.□ Nous utiliserons encore la formule suivante. Proposition 3.4 Soit Aune variété abélienne munie d’une polarisation L. Si (Ai)i∈Isont ses composantes isotypiques et Dle degré minimal d’une isogénie ∏i∈IAi→Aalors ∏i∈Ih0(Ai,L)=Dh0(A,L). Démonstration. Notons s,φ:∏i∈IAi→A l’isogénie de somme et une isogénie quelconque. D’après l’assertion (3) du lemme 3.2, φ(Ai)=Ai donc φ induit des endomorphismes φi:Ai→Ai. Nous avons donc φ=s◦∏i∈Iφi. Ceci prouve que s est une isogénie minimale et en particulier D=degs. Notre formule résulte donc de h0(∏i∈IAi,s*L)=∏i∈Ih0(Ai,L) qui est une conséquence de la proposition 3.1 (itérée) en vertu de l’orthogonalité (5) du lemme 3.2.□ Si nous utilisons D≥1 et h0(A,L)=g!−1degLA (avec g=dimA) nous avons dans la situation de la proposition ∏i∈IdegLAi≥g!−1degLA et donc par inégalité arithmético-géométrique ∑i∈I(degLAi)1/dimAih1(Ai)≥1g∑i∈I∑j=1dimAi(degLAi)1/dimAih1(Ai)≥(∏i∈I(degLAi)h1(Ai)dimAi)1/g≥(degLA)1/gg∏i∈Ih1(Ai)dimAi/g si K est un corps de nombres. En minorant h1≥1 nous voyons que la conjecture 1.4 entraîne la version uniforme suivante du résultat de Bertrand [1]. Conjecture 3.5 Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne de dimension gsur K, Lune polarisation sur Aet P∈A(K)un point sans torsion sur EndA, alors hL(P)≥c−1(degLA)1/g. D’après le calcul précédent nous pourrions rajouter un terme de hauteur. Celui-ci vaudrait h1(A) dans le cas isotypique mais pas sinon. Nous verrons à la fin de cette partie que la minoration hL(P)≥c−1(degLA)1/gh1(A) est fausse en général. Avant cela, nous allons comparer les h1(Ai) à h1(A). 3.3. Comparaisons de hauteurs de Faltings Nous donnons ici quelques conséquences du théorème d’isogénie de [9] pour la variation de la hauteur de Faltings. Pour alléger, nous notons, pour des réels u,v>0, [u∣v]=max(u/v,v/u) et log1u=max(1,logu). Le lecteur vérifiera sans peine que, si (ui)i∈I et (vi)i∈I sont des familles de réels >0, alors [maxi∈Iui∣maxi∈Ivi]≤maxi∈I[ui∣vi] et [u∣w]≤[u∣v][v∣w] pour u,v,w>0. Lemme 3.6 Si Aet Bsont deux variétés abéliennes isogènes de dimension gsur un corps de nombres Kalors [h1(A)∣h1(B)]≤217g6log1[K:Q]. Démonstration. D’après le théorème 1.4 de [9], nous avons hF,K(B)≤hF,K(A)+(1/2)logκ(A). En calculant comme pour le lemme 2.8, ceci est majoré par h1(A)+29g3(64g2log(14g)+log[K:Q]+2max(h1(A),log[K:Q]))≤(1+29g3(64g2log(14g)+3))(log1[K:Q])h1(A)≤(1+29(64log(14)+3))g6(log1[K:Q])h1(A). Avec 64log(14)+3≤28−1 nous avons h1(B)≤217g6(log1[K:Q])h1(A) puis le résultat par symétrie.□ Il s’agit bien sûr d’un affaiblissement assez net du résultat puisque nous avons majoré logh1(A) par h1(A). Dans la démonstration suivante, nous utiliserons la minoration de Bost de la hauteur de Faltings d’une variété abélienne A de dimension g sur un corps de nombres K. Une démonstration apparaît dans l’appendice de [8] où la minoration est écrite h(A)≥−glog2π (corollaire 8.4) avec la convention h(A)=hF(A)+logπ (page 352 de [8]). Comme hF,K(A)≥hF(A) et log(π2)≤3/2, nous emploierons ceci sous la forme hF,K(A)≥−3g/2. Proposition 3.7 Soient Aune variété abélienne de dimension gsur un corps de nombres K, (Ai)i∈Ila famille de ses composantes isotypiques, Bune sous-variété abélienne non nulle de Aet J={i∈I∣B∩Aiinfini}. [h1(A)∣maxi∈Ih1(Ai)]≤218g7log1[K:Q]. [h1(B)∣maxi∈Jh1(Ai)]≤235g21(log1[K:Q])2. Si maxi∈Ih1(Ai)=maxi∈Jh1(Ai)alors [h1(B)∣h1(A)]≤253g28(log1[K:Q])3.  Ici encore les estimations ne sont pas optimales. Par exemple, au prix de plus de calculs, les trois bornes pourraient être linéaires en log1[K:Q]. Démonstration. Pour i∈I, notons Bi la composante neutre de B∩Ai. D’après le lemme 3.2, assertions (2) et (6), B est isogène à ∏i∈JBi donc d’après le lemme précédent [h1(B)∣h1(∏i∈JBi)]≤217(dimB)6log1[K:Q]. Puisque hF,K(∏i∈JBi)=∑i∈JhF,K(Bi), nous avons h1(∏i∈JBi)≤(CardJ)maxi∈Jh1(Bi). Par ailleurs, la minoration de Bost hF,K(Bi)≥−(3/2)dimBi fournit pour j∈J l’inégalité hF,K(Bj)≤(3/2)dim(B/Bj)+hF,K(∏i∈JBi). Nous en déduisons [h1(∏i∈JBi)∣maxi∈Jh1(Bi)]≤2dimB donc [h1(B)∣maxi∈Jh1(Bi)]≤218(dimB)7log1[K:Q]. Si nous choisissons B=A cette inégalité donne (1). Maintenant, si i∈J, les variétés abéliennes isotypiques AidimBi et BidimAi sont isogènes. Par le lemme précédent, [h1(AidimBi)∣h1(BidimAi)]≤217(dimAi)6(dimBi)6log1[K:Q] tandis que [h1(AidimBi)∣h1(Ai)]≤dimBi et de même pour BidimAi. En multipliant, nous trouvons [maxi∈Jh1(Ai)∣maxi∈Jh1(Bi)]≤217g14log1[K:Q]. Avec la relation précédente pour h1(B) nous obtenons (2). L’assertion (3) se déduit directement de (1) et (2).□ 3.4. Un contre-exemple Nous démontrons ici que la conjecture obtenue en remplaçant dans la conjecture 3.5 la conclusion par hL(P)≥c−1(degLA)1/gh1(A) est fausse. Nous donnons un exemple explicite dans le cas (d,g)=(1,2) c’est-à-dire pour une surface abélienne A sur Q. Nous raisonnons par l’absurde. Étant donné un entier naturel b>e10, nous notons E la courbe elliptique sur Q donnée par le modèle affine de Weierstraß y2=x3+b(b+1)2x. Soient L1 sa polarisation principale et Q∈E(Q) le point de coordonnées affines (b(b+1),b(b+1)2). D’après [22, (11) p. 727], la hauteur de Néron-Tate vérifie ∣2hL1(Q)−logb(b+1)∣≤(1/2)log(b(b+1)2)+5 d’où l’on déduit 0<2hL1(Q)<5logb en utilisant logb>10. En particulier Q n’est pas un point de torsion. Considérons ensuite un autre entier e10<b′<e11 et associons-lui (E′,L2,Q′) comme (E,L1,Q) est associé à b. Notons m=[logb]. Nous allons appliquer notre hypothèse à la surface A=E×E′ polarisée par L=p1*L1⊗p2*L2⊗m et au point P=(Q,Q′). Ceci signifie qu’ou hL(P)≥c−1(degLA)1/2h1(A) ou P est de torsion sur EndA. Examinons le premier cas. Nous aurions 30logb≥5+5logb′2logb≥hL1(Q)+mhL2(Q′)=hL(P)≥c−1(degLA)1/2h1(A)=c−12mh1(A) par un calcul immédiat de degré donc h1(A)≤30clogb. Voyons que, pour b sans facteur carré et assez grand, ceci contredit l’estimation 112log max(∣j∣,∣Δj∣)≤(1+ɛ)hF,Q(E)+Oɛ(1) donnée par Silverman [4, p. 258] où j et Δ sont l’invariant modulaire et le discriminant minimal de E/Q. Ici j=1728 tandis que Δ=a3 où a est la partie sans puissance quatrième de 4b(b+1)2. En particulier b∣a donc max(∣j∣,∣Δj∣)=∣Δj∣≥b3 puis hF,Q(E)≥(1/5)logb−c′ d’où h1(A)≥(1/5)logb−c″ (pour des constantes c′ et c″) qui fournit la contradiction cherchée pour b grand (sans facteur carré). Il reste à éliminer le cas où P est de EndA-torsion. Comme Q et Q′ ne sont pas de torsion, cela signifierait que E et E′ sont isogènes (sur Q) mais le lemme 3.6 donnerait alors une borne pour h1(E)≤217h1(E′) qui contredit à nouveau l’estimation hF,Q(E)≥(1/5)logb−c′. Nous terminons cette partie en montrant comment essentiellement le même contre-exemple interdit de renforcer la conjecture 1.5 en imposant la borne degLB≤c(degLA)1−ɛ pour un ɛ>0. Nous choisissons les mêmes A et L mais considérons le point P′=(0,Q′) et le poids m=[(logb)1/2]. Alors hL(P′)≤28m≤28(logb)1/2 rend impossible hL(P′)≥c−1h1(A) comme plus haut (toujours pour b assez grand et sans facteur carré). Donc, si la condition renforcée était vraie, un multiple non nul NP′ de P′ (nous n’avons pas besoin de la borne sur N) serait contenu dans une sous-variété abélienne stricte B de A vérifiant la borne de degré. Comme Q′ n’est pas de torsion, nous avons nécessairement B=0×E′ d’où degLB=m. Puisque degLA=2m, la majoration degLB≤c(degLA)1−ɛ est intenable pour m assez grand (c’est-à-dire b assez grand). 4. Conjectures de Lang–Silverman Nous introduisons de nouvelles variantes des conjectures 1.3, 1.4 et 1.5 puis démontrons une série d’implications entre elles qui entraînent en particulier le théorème 1.6. 4.1. Autres versions Nous énonçons d’abord un renforcement de la conjecture 1.3 qui consiste simplement à barrer le mot principale. Conjecture 4.1 Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne de dimension gsur K, Lune polarisation sur Aet P∈A(K)un point qui n’est pas de torsion sur Z(EndA), alors hL(P)≥c−1h1(A). Nous considérons ensuite plusieurs affaiblissements de nos conjectures. En premier lieu, nous restreignons l’énoncé précédent aux variétés simples (en simplifiant l’hypothèse grâce au lemme 3.3). Conjecture 4.2 Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne simple de dimension gsur K, Lune polarisation sur Aet P∈A(K)un point qui n’est pas de torsion, alors hL(P)≥c−1h1(A). Nous obtenons une variante encore plus faible en autorisant la constante c à dépendre du degré degLA. Conjecture 4.3 Pour tout triplet d’entiers naturels non nuls (d,g,Δ)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne simple de dimension gsur K, Lune polarisation sur Aavec degLA=Δet P∈A(K)un point qui n’est pas de torsion, alors hL(P)≥c−1h1(A). Finalement, nous atténuons la conjecture 1.5 dans le même esprit. Conjecture 4.4 Pour tout triplet d’entiers naturels non nuls (d,g,Δ)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne de dimension gsur K, Lune polarisation sur Aavec degLA=Δet P∈A(K), alors ou hL(P)≥c−1h1(A)ou il existe un sous-groupe algébrique strict de Acontenant Pet de degré au plus crelativement à L. Nous disposons maintenant de 7 conjectures de Lang–Silverman. Pour préciser les implications entre elles, nous donnons encore un nom aux conjectures uniformes d’isogénie et de torsion (correspondant aux assertions (2) et (3) du théorème 1.1). Conjecture I Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel ctel que, si Kest un corps de nombres de degré det A,A′deux variétés abéliennes isogènes de dimension gsur K, alors il existe une isogénie A→A′de degré au plus c. Conjecture T Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel ctel que, si Kest un corps de nombres de degré det Aune variété abélienne de dimension gsur K, alors CardA(K)tors≤c. Rappelons que le théorème 1.1 et la proposition 1.2 nous donnent en particulier E⟹I⟹T. Voici le résultat détaillé qui entraîne immédiatement le théorème 1.6. Nous écrivons A⟹BCpour(AetB)⟹C. Théorème 4.5 Nous avons le diagramme d’implications suivant entre nos conjectures En particulier, si la conjecture E est vraie, les 7 conjectures1.3, 1.4, 1.5, 4.1, 4.2, 4.3et4.4sont équivalentes. Le reste de cette partie est dévolu à la démonstration de ce théorème. 4.2. Implications faciles Nous avons trivialement 4.1 ⟹1.3 et 4.1 ⟹4.2 ⟹4.3. En spécialisant au cas simple, nous voyons 4.4 ⟹4.3 et même 1.5 ⟹4.2 qui n’a pas trouvé sa place dans le diagramme. Pour obtenir 1.5 ⟹4.4, il suffit de rappeler la formule degL[N]−1B=N2dim(A/B)degLB pour une sous-variété abélienne B de A et un entier non nul N. Par ailleurs, nous avons déjà vu 1.4 ⟹3.5 comme corollaire de la proposition 3.4. Nous avons ensuite besoin de l’astuce de Zarhin que nous énonçons sous la forme suivante. Lemme 4.6 Étant donné une variété abélienne polarisée (A,L)sur un corps K, il existe une polarisation principale Msur Z(A)=A4×A^4telle que, si Aest vue comme sous-variété abélienne de Z(A)par l’injection sur le premier facteur, alors M∣A≃L. Démonstration. Rappelons la construction telle qu’elle est donnée pour établir (11.29) page 171 de [13]. On choisit un entier non nul m tel que KerϕL⊂Ker[m] puis quatre entiers avec a2+b2+c2+d2=m−1. On forme le morphisme f:A8→Z(A) donné matriciellement par f=([1][a][−b][−c][−d][1][b][a][−d][c][1][c][d][a][−b][1][d][−c][b][a]ϕLϕLϕLϕL) en omettant les coefficients nuls. On montre alors qu’il existe une polarisation M sur Z(A) telle que f*M soit la polarisation sur A8 produit de 8 copies de L. L’égalité degf=h0(A,L)8 assure que M est principale tandis que M∣A≃L découle du fait que la restriction de f au premier facteur de A8 donne l’injection du premier facteur dans Z(A) (première colonne de la matrice). Une subtilité est que, si la polarisation L est représentée par un faisceau inversible symétrique, la construction ne garantit pas qu’il en aille de même de M mais nous ne parlons bien que des polarisations.□ Dans la suite, nous verrons toujours A⊂Z(A) comme dans ce lemme. Nous rappelons aussi hF,K(Z(A))=8hF,K(A) d’où h1(A)≤h1(Z(A))≤8h1(A) si K est un corps de nombres. Lemme 4.7 La conjecture1.3entraîne la conjecture4.1. Démonstration. Soit (d,g)∈(N⧹{0})2. Notons c la constante associée au couple (d,8g) fournie par la conjecture 1.3. Si A, L et P sont comme dans la conjecture 4.1, nous voyons P comme point de Z(A)(K). S’il n’est pas de torsion sur Z(EndZ(A)) alors hL(P)=hM(P)≥c−1h1(Z(A))≥c−1h1(A). Comme il existe une isogénie Z(A)→A8 respectant les inclusions A⊂Z(A) et A⊂A8 (premier facteur), si P était de torsion sur Z(EndZ(A)) alors (P,0,…,0) serait de torsion sur Z(EndA8)=Z(M8(EndA))≃Z(EndA) (matrices diagonales) donc P serait de torsion sur Z(EndA), ce qui est exclu par hypothèse.□ Mentionnons la conséquence directe suivante de la conjecture T. Lemme 4.8 Si la conjecture T est vraie alors pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un entier Ntel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne de dimension gsur K, Bune sous-variété abélienne de Aet P∈A(K)un point dont un multiple par un entier non nul appartient à Balors NP∈B(K). Démonstration. Il suffit de définir N comme le plus petit commun multiple de tous les Card(A/B)(K)tors pour A,B,K comme dans l’énoncé. La conjecture T en assure la finitude.□ Pour déduire (conditionnellement) les conjectures 4.1 et 1.5 de la conjecture 1.4, nous utilisons le résultat intermédiaire suivant. Proposition 4.9 Si les conjectures1.4et T sont vraies, alors pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne de dimension gsur K, Lune polarisation sur A, P∈A(K)un point qui n’est pas de torsion et BPla plus petite sous-variété abélienne de Acontenant un multiple non nul de P, alors hL(P)≥c−1h1(BP). Démonstration. Notons N un entier comme dans le lemme précédent. Alors NP est un point de BP(K). Soit φ∈EndBP tel que φ(NP)=0. Comme NP∈Kerφ, un multiple non nul de P appartient à la composante neutre (Kerφ)0. Par minimalité de BP, il vient (Kerφ)0=BP donc φ=0. Ainsi le point NP n’est pas de torsion sur EndBP. Appliquons-lui donc la conjecture 1.4. En notant (Bi)i∈I les composantes isotypiques de BP et en omettant les termes de degré il vient hL(NP)≥c−1maxi∈Ih1(Bi) puis hL(P)=N−2hL(NP)≥c−1N−2(218g7log1d)−1h1(BP) en employant l’assertion (1) de la proposition 3.7 (pour BP).□ Les deux implications se démontrent alors de manière semblable. Lemme 4.10 Les conjectures1.4et T entraînent la conjecture4.1. Les conjectures1.4et I entraînent la conjecture1.5. Démonstration. Comme I ⟹ T, nous pouvons utiliser la proposition précédente dans les deux cas. Fixons d,g,K,A,L comme dans les conjectures 4.1 et 1.5 puis P∈A(K) et BP comme dans la proposition. Notons (Ai)1≤i≤s les composantes isotypiques de A ordonnées de sorte que h1(A1)=max1≤i≤sh1(Ai). Posons encore B=A2+⋯+As. Si BP⊄B alors l’orthogonal de B∩BP dans BP est une sous-variété abélienne non nulle contenue dans l’orthogonal de B qui vaut A1 par le lemme 3.2 assertion (5) donc BP∩A1 est infini, ce qui se traduit par 1∈J dans la proposition 3.7 puis (assertion (3)) h1(A)≤253g28(log1d)3h1(BP). Sous l’hypothèse de la conjecture 4.1, P n’est pas de torsion sur Z(EndA) donc (lemme 3.3) aucun multiple non nul de P n’appartient à B. Dans ce cas, nous avons donc BP⊄B puis l’inégalité de hauteur qui, combinée à la proposition 4.9, fournit la conclusion souhaitée. Établissons maintenant la conjecture 1.5. Si BP⊄B nous concluons exactement de la même façon à l’inégalité de la forme hL(P)≥c−1h1(A). Si BP⊂B alors, par le lemme 4.8, B contient un multiple NP où N≥1 est borné en termes de d et g. Il reste à majorer le degré de B. Or, dans le cadre de la proposition 3.4, nous avons h0(B,L)≤∏i=2sh0(Ai,L)≤Dh0(A,L). Il suffit donc de majorer uniformément D par la conjecture I.□ 4.3. Utilisation de la conjecture E Dans ce paragraphe, nous montrons que les conjectures 4.3 et E entraînent la conjecture 1.4. Nous commençons par reformuler l’argument de Bertrand [1, p. 235–8] dans le cas isotypique. Lemme 4.11 Soient Aune variété abélienne isotypique de dimension gsur un corps de nombres K, Let L′deux polarisations sur Aet P∈A(K)un point qui n’est pas de torsion sur EndA. Alors, si nous notons t=rgEndA, il existe ψ∈EndA⧹{0}tel que hL(P)≥(degLA)1/gt·disc(EndA)1/t(degL′A)1/ghL′(ψ(P)). Démonstration. Nous considérons trois formes quadratiques qi:EndA⊗R→R ( i=1,2,3) définies par q1(φ)=hL(φ(P)), q2(φ)=hL′(φ(P)) et q3(φ)=TrEndA(φ†φ) pour φ∈EndA⊗R. Elles sont définies positives car (pour q1 et q2) l’application φ↦φ(P) est injective par hypothèse sur P. Nous notons alors vi(EndA) le covolume de EndA pour la norme euclidienne qi1/2 sur EndA⊗R. Par le premier théorème de Minkowski (tel qu’il est énoncé dans [9, lemme 3.1]), il existe ψ∈EndA⧹{0} tel que hL′(ψ(P))=q2(ψ)≤t·v2(EndA)2/t. Ensuite il existe β∈EndA⊗R tel que L=β*L′ (voir [1, Proposition 3(ii)] : extraction de racine carrée dans {χ∈EndA⊗R∣χ†=χ}). Ainsi degLA=degβ·degL′A et q1(φ)=q2(βφ) pour tout φ∈EndA⊗R. Cette formule peut s’écrire q1=q2◦[β] où [β]:EndA⊗R→EndA⊗R est la multiplication à gauche par β. Par suite, nous avons v1(EndA)=(det[β])v2(EndA). Le déterminant β′↦det[β′] de la représentation régulière est une application polynomiale de degré t, le degré β′↦degβ′ est de degré 2g et, grâce à l’hypothèse que A est isotypique, ces deux applications sont des puissances de la norme réduite (puisque EndA⊗Q est simple : voir [14, p. 179–82] ou [1, p. 235]). Par conséquent, il vient det[β]=(degβ)t/2g puis t·v2(EndA)2/t=t(degβ)−1/gv1(EndA)2/t=t(degL′A)1/g(degLA)1/gv1(EndA)2/t. Comparons maintenant v1 et v3. Comme φ↦φ† est l’adjonction par rapport au produit scalaire b1 associé à q1, nous avons q1(φ)=b1(φ,φ)=b1(idA,φ†φ)≤TrEndA(φ†φ)b1(idA,idA)=q3(φ)hL(P) (voir [1, p. 238]) donc en passant aux covolumes v1(EndA)2/t≤hL(P)v3(EndA)2/t. En combinant, nous trouvons (degLA)1/ghL′(ψ(P))≤t·v3(EndA)2/t(degL′A)1/ghL(P) et il reste seulement à constater disc(EndA)=v3(EndA)2 : ceci signifie simplement que, si φ1,…,φt est une base de EndA, les matrices de terme général TrEndA(φiφj) et TrEndA(φi†φj) ont des déterminants de même valeur absolue, comme dans la démonstration de la proposition 2.9 de [9].□ Soit à présent A une variété abélienne de dimension g sur un corps de nombres K de degré d. Nous notons A1,…,As les composantes isotypiques de A. Nous faisons le choix d’une isogénie φ:∏i=1sBini→A où les Bi sont simples et deux à deux non isogènes ainsi que de polarisations Ni sur Bi. Nous supposons aussi que la numérotation des Bi est telle que φ(Bini)=Ai (voir lemme 3.2 (3)). Nous écrivons D=degφ, gi=dimBi, ti=rgEndBi et Δi=degNiBi. De plus, si le triplet (d,gi,Δi) satisfait l’affirmation de la conjecture 4.3, nous notons c(d,gi,Δi) le réel correspondant ; sinon nous posons c(d,gi,Δi)=+∞. Proposition 4.12 Avec les hypothèses ci-dessus, pour toute polarisation Lsur Aet tout point P∈A(K)qui n’est pas de EndA-torsion, nous avons hL(P)≥12g5D3∑i=1s(degLAi)1/dimAih1(Ai)c(d,gi,Δi)Δi1/gidisc(EndBi)1/ti. Démonstration. Puisque l’isogénie induite φi:Bini→Ai est au plus de degré D, nous avons ∣hF,K(Ai)−nihF,K(Bi)∣≤(logD)/2 d’où h1(Ai)≤(ni+(logD)/2)h1(Bi)≤gDh1(Bi). Notons Li=φi*(L∣Ai). La formule de projection nous donne d’abord degLiBini=(degφi)degLAi≥degLAi. En outre, φ*L est le produit des images réciproques des Li : cela se déduit du cas d’égalité du théorème 3 de [7] car h0(∏i=1sBini,φ*L)=∏i=1sh0(Bini,Li) par la proposition 3.1 et l’orthogonalité (5) du lemme 3.2. Si nous désignons par χ l’isogénie A→∏i=1sBini telle que φ◦χ=[D] alors le point χ(P) s’écrit (Q1,…,Qs) où Qi∈Bini(K) est sans torsion sur End(Bini). Il vient donc hL(P)=D−2hL(φ(χ(P)))=D−2hφ*L(χ(P))=D−2∑i=1shLi(Qi). Écrivons Li′ pour le produit des images réciproques de Ni sous les ni projections standards Bini→Bi. Nous calculons degLi′Bini=(nigi)!gi!−ni(degNiBi)ni≤(nigi)nigiΔini d’où la majoration (degLi′Bini)1/nigi≤gΔi1/gi. Appliquons maintenant le lemme 4.11 à (Bini,Li,Li′,Qi). Nous obtenons ψi∈End(Bini)⧹{0} avec hLi(Qi)≥(degLAi)1/nigini3ti·disc(EndBi)1/tigΔi1/gihLi′(ψi(Qi)) en utilisant que End(Bini)=Mni(EndBi) est de rang ni2ti et de discriminant nini2tidisc(EndBi)ni2. Comme ψi est non nul, le point ψi(Qi)∈Bi(K)ni n’est pas de torsion, ce qui signifie que c’est le cas pour l’une de ses coordonnées, disons Ri. Alors par définition de c(d,gi,Δi) nous trouvons hLi′(ψi(Qi))≥hNi(Ri)≥1c(d,gi,Δi)h1(Bi)≥1gDc(d,gi,Δi)h1(Ai). Il reste seulement à majorer ni3ti≤2g3 et à combiner nos estimations.□ Cette proposition permet de montrer très facilement la conjecture 1.4 lorsque les conjectures 4.3 et E sont vraies. En effet, la première donne la finitude de la fonction c(·,·,·) utilisée tandis que la seconde montre que les quantités D, Δi et disc(EndBi) peuvent être choisies parmi un ensemble fini lorsque d et g sont fixés : pour Δi, cela vient de l’assertion (1) du théorème 1.1 (sur Bi) ; pour D, de son assertion (2) ; pour disc(EndBi) directement de la conjecture E. 4.4. Fin des démonstrations Pour établir le théorème 4.5, il nous reste seulement à voir 4.4 ⟹1.5 ⟹ T. Bien sûr, si la conjecture E est vraie, nous avons montré 4.4 ⟹4.3 ⟹1.4 ⟹1.5 (et la conjecture T est vraie). L’intérêt ici est de fournir des implications inconditionnelles. La déduction de la conjecture T à partir de la conjecture 1.5 ne présente pas de difficultés : cette dernière, réduite au cas des points de torsion (de hauteur nulle), affirme en effet A(K)tors⊂[N]−1B(K)tors pour un entier N borné et une sous-variété abélienne stricte B de A ; la majoration Card(A(K)tors)≤N2gCard(B(K)tors) entraîne donc immédiatement la conjecture T par récurrence sur la dimension de A. Si nous avons mentionné la conjecture T, ce n’est pas tant à cause de cette implication facile mais plutôt parce qu’elle interviendra aussi dans la démonstration de 4.4 ⟹1.5. Nous commençons donc en fait par établir 4.4 ⟹ T et la preuve de cette implication sert aussi de préparation à la suivante basée sur le même principe mais plus délicate. Dans les deux cas, nous utilisons les conventions suivantes. Un corps de nombres K de degré d sera fixé. Comme nous supposons la conjecture 4.4 vérifiée, nous notons c1(g,Δ) pour des entiers g et Δ une constante dont elle assure l’existence et nous imposons que cette fonction c1(·,·) soit croissante en ses deux paramètres : ceci est possible puisque nous pouvons augmenter librement la valeur de cette constante dans la conjecture 4.4. Lemme 4.13 La conjecture4.4entraîne la conjecture T. Démonstration. Commençons par traiter le cas d’une variété abélienne munie d’une polarisation principale. Nous fixons un entier g≥1 et définissons une suite de réels u0,…,ug par u0=g! et ui+1=c1(g−i,ui) pour 0≤i≤g−1. Nous posons aussi v0=1 et vi+1=viui+1 pour 0≤i≤g−1. Soit donc A une variété abélienne sur K de dimension g et munie d’une polarisation principale L. Fixons P∈A(K)tors. Notons C l’ensemble des sous-variétés abéliennes C de A telles qu’il existe un entier naturel i avec dimC≤g−i, degLC≤ui et un entier non nul N≤vi avec NP∈C. Cet ensemble est non vide car A∈C puisque i=0 et N=1 conviennent ( degLA=g!). Considérons un élément C∈C minimal pour l’inclusion et i,N des entiers associés par définition de C. Si C≠0, on lui applique la conjecture 4.4 avec le point (de torsion) NP. Il existe donc un sous-groupe algébrique strict G de C, contenant NP et de degré degLG≤c1(dimC,degLC)≤c1(g−i,ui)=ui+1.Notons B=G0 la composante neutre. Nous avons dimB≤dimC−1≤g−i−1 et degLB≤ui+1. En outre NP∈G donc [G:B]NP∈B et [G:B]N≤NdegLG≤Nui+1≤vi+1. Nous en déduisons que B∈C mais ceci contredit la minimalité de C donc en réalité nous avons C=0. Par suite P est d’exposant au plus N≤vi≤vg. Comme ceci vaut pour tout élément de A(K)tors, ce groupe est de cardinal au plus vg2g. La conjecture T est donc acquise pour les variétés abéliennes admettant une polarisation principale. Nous concluons par l’astuce de Zarhin puisque CardA(K)tors≤(CardZ(A)(K)tors)1/4. □ Voici à présent notre dernière implication. Proposition 4.14 La conjecture4.4entraîne la conjecture1.5. Démonstration. Nous fixons un entier g≥1 et définissons une suite u0,…,u8g−1 de réels par u0=(8g)! et ui+1=c1(8g−i,ui) pour 0≤i≤8g−2. Posons également U=max(u0,…,u8g−1) et Δ=c1(8g,U). Nous supposons la conjecture 4.4 vérifiée donc, par le lemme précédent, il en va de même de la conjecture T. Nous notons alors N l’entier donné par le lemme 4.8 pour le couple (d,8g). Soient A une variété abélienne sur K de dimension g et L une polarisation sur A. Soit M une polarisation principale sur Z(A) telle que M∣A≃L comme dans le lemme 4.6. Désignons par A1,…,As les composantes isotypiques de A ordonnées de sorte que h1(A1) soit maximale. Soit Z1 la composante isotypique de Z(A) contenant A1. Notons encore C l’ensemble (fini) des sous-variétés abéliennes C de Z(A) telles que C∩Z1 est fini et degMC≤Δ puis Σ la somme de tous les éléments de C. Nous allons montrer que la conclusion de la conjecture 1.5 est satisfaite avec B la composante neutre de Σ∩A. Tout d’abord, nous avons bien B≠A : la condition C∩Z1 fini équivaut à dire que C est contenue dans la somme des autres composantes isotypiques de Z(A) ; cette condition est stable par somme donc Σ∩Z1 est fini et il en va ainsi de même de B∩A1. Ensuite, par dimension, Σ peut s’écrire comme la somme d’au plus 8g éléments de C donc la proposition 3.1 itérée implique (somme) h0(Σ,M)≤Δ8g puis (intersection) h0(B,L)≤Δ8gh0(A,L) d’où degLB≤Δ8gdegLA. Soit maintenant P∈A(K). Définissons D comme l’ensemble des sous-variétés abéliennes D de Z(A) contenant NP, d’intersection D∩Z1 infinie et telles qu’il existe un entier naturel i avec i+dimD≤8g et degMD≤ui. Cet ensemble est non vide car il contient Z(A) puisque degMZ(A)=(8g)!=u0. Considérons un élément D∈D minimal pour l’inclusion. Par définition, nous avons 1≤dimD≤8g et degMD≤U. Nous séparons deux cas. Supposons d’abord hM(NP)≥Δ−1h1(D). Nous employons alors trois fois la proposition 3.7. Dans Z(A), son assertion (2) montre h1(Z1)≤235(8g)21(log1d)2h1(D). Dans Z1, cette même assertion (2) fournit h1(A1)≤235(dimZ1)21(log1d)2h1(Z1). Enfin, dans A, l’assertion (1) nous donne h1(A)≤218g7(log1d)h1(A1). Nous en déduisons hL(P)≥(2214g49(log1d)5N2Δ)−1h1(A) qui correspond à la première partie de l’alternative de la conjecture 1.5. Passons au second cas. Ici hM(NP)<c1(dimD,degMD)−1h1(D) donc la conjecture 4.4 (pour D) montre qu’il existe un sous-groupe algébrique strict C de D, contenant NP et tel que degMC≤c1(dimD,degMD). Nous pouvons remplacer C par sa composante neutre (grâce à la propriété de l’entier N donné par le lemme 4.8) et donc supposer que C est une sous-variété abélienne. Si l’intersection C∩Z1 était infinie nous aurions en particulier dimD>dimC>0. Par définition de D, il existe i avec i+dimD≤8g et degMD≤ui. Ainsi nous aurions i≤8g−2 et degMC≤c1(8g−i,ui)=ui+1 donc C∈D (avec i+1+dimC≤8g). Ceci contredirait la minimalité de D. Nous en déduisons que C∩Z1 est fini puis, avec degMC≤c1(8g,U)=Δ, que C∈C. En particulier NP∈C⊂Σ donc NP∈Σ∩A. En utilisant à nouveau le lemme 4.8, nous trouvons NP∈B.□ Références 1 D. Bertrand , Minimal heights and polarizations on group varieties , Duke Math. J. 80 ( 1995 ), 223 – 250 . Google Scholar CrossRef Search ADS 2 D. Bertrand , Duality on tori and multiplicative dependence relations , J. Austral. Math. Soc. Ser. A 62 ( 1997 ), 198 – 216 . Google Scholar CrossRef Search ADS 3 N. Bruin , E. V. Flynn , J. González et V. Rotger , On finiteness conjectures for endomorphism algebras of abelian surfaces , Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 141 ( 2006 ), 383 – 408 . Google Scholar CrossRef Search ADS 4 G. Cornell et J. Silverman , Arithmetic Geometry (Storrs, Conn., 1984) , Springer-Verlag , New York , 1986 . Google Scholar CrossRef Search ADS 5 S. David , Fonctions thêta et points de torsion des variétés abéliennes , Compositio Math. 78 ( 1991 ), 121 – 160 . 6 S. David , Minorations de hauteurs sur les variétés abéliennes , Bull. Soc. Math. France 121 ( 1993 ), 509 – 544 . Google Scholar CrossRef Search ADS 7 O. Debarre , Polarisations sur les variétés abéliennes produits , C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 323 ( 1996 ), 631 – 635 . 8 É. Gaudron et G. Rémond , Théorème des périodes et degrés minimaux d’isogénies , Comment. Math. Helv. 89 ( 2014 ), 343 – 403 . Google Scholar CrossRef Search ADS 9 É. Gaudron et G. Rémond , Polarisations et isogénies , Duke Math. J. 163 ( 2014 ), 2057 – 2108 . Google Scholar CrossRef Search ADS 10 É. Gaudron et G. Rémond , Torsion des variétés abéliennes CM. Proc. Amer. Math. Soc. à paraître. 11 C. Liebendörfer et G. Rémond , Hauteurs de sous-espaces sur les corps non commutatifs , Math. Z. 255 ( 2007 ), 549 – 577 . Google Scholar CrossRef Search ADS 12 L. Merel , Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres , Invent. Math. 124 ( 1996 ), 437 – 449 . Google Scholar CrossRef Search ADS 13 B. Moonen et G. van der Geer , Abelian varieties. Livre en préparation, voir https://www.math.ru.nl/~bmoonen/research.html. 14 D. Mumford , Abelian Varieties , Oxford University Press , London , 1974 . 15 P. Parent , Bornes effectives pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres , J. Reine Angew. Math. 506 ( 1999 ), 85 – 116 . Google Scholar CrossRef Search ADS 16 F. Pazuki , Minoration de la hauteur de Néron-Tate sur les surfaces abéliennes , Manuscripta Math. 142 ( 2013 ), 61 – 99 . Google Scholar CrossRef Search ADS 17 I. Reiner , Maximal Orders, volume 28 de London Mathematical Society Monographs. New Series , The Clarendon Press Oxford University Press , Oxford , 2003 . 18 G. Rémond . Variétés abéliennes et ordres maximaux. Rev. Mat. Iberoam. à paraître. 19 A. Silverberg , Torsion points on abelian varieties of CM-type , Compositio Math. 68 ( 1988 ), 241 – 249 . 20 J. Silverman , Lower bounds for height functions , Duke Math. J. 51 ( 1984 ), 395 – 403 . Google Scholar CrossRef Search ADS 21 J. Silverman , The Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics Vol. 106 , Springer-Verlag , New York , 1986 . Google Scholar CrossRef Search ADS 22 J. Silverman , The difference between the Weil height and the canonical height on elliptic curves , Math. Comp. 55 ( 1990 ), 723 – 743 . Google Scholar CrossRef Search ADS 23 J. Tsimerman . A proof of the André-Oort conjecture for Ag. 2015 . arXiv:1506.01466. © 2017. Published by Oxford University Press. All rights reserved. For permissions, please email: journals.permissions@oup.com This article is published and distributed under the terms of the Oxford University Press, Standard Journals Publication Model (https://academic.oup.com/journals/pages/about_us/legal/notices) http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png The Quarterly Journal of Mathematics Oxford University Press

Conjectures uniformes sur les variétés abéliennes

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Oxford University Press
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ISSN
0033-5606
eISSN
1464-3847
D.O.I.
10.1093/qmath/hax042
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Abstract

Abstract We consider several conjectures on abelian varieties over number fields whose common feature is a bound that depends only on the dimension of the variety and the degree of the number field. For example, Coleman’s conjecture predicts that only a finite number of rings can occur as endomorphism rings once these two parameters are fixed. We show that this conjecture implies the existence of a small polarization as well as a uniform isogeny conjecture (without Faltings height) which in turn implies the uniform torsion conjecture. We then discuss several variants of the Lang–Silverman conjecture on heights and implications between them. In particular, we show how a rather weak version is, under Coleman’s conjecture, equivalent to much more precise versions. We build on Bertrand’s work to give a bound explicit in terms of the polarization. 1. Introduction 1.1. Conjecture de Coleman Nous considérons la conjecture suivante concernant les variétés abéliennes sur les corps de nombres. Conjecture E Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel ctel que, si Kest un corps de nombres de degré det Aune variété abélienne de dimension gsur K, alors le discriminant de l’anneau des endomorphismes EndAest au plus c. Précisons qu’ici l’anneau EndA est formé des endomorphismes de A définis sur K (voir les conventions générales à la fin de cette introduction) et que nous appelons discriminant la valeur absolue du déterminant de la matrice s×s de terme général TrEndA(φiφj) où φ1,…,φs est une base quelconque de EndA sur Z. Cette conjecture E peut être attribuée à Coleman d’après [3] : la version citée dans cet article diffère de la nôtre (nombre fini d’anneaux EndA à g,d fixés) mais lui est équivalente puisqu’à discriminant borné il n’y a qu’un nombre fini d’anneaux possibles (à isomorphisme près). Signalons aussi une fois pour toutes que nous pourrions considérer une version affaiblie de la conjecture E en autorisant la borne c à dépendre non seulement de d=[K:Q] mais de K lui-même. Cette remarque concerne tous les énoncés qui suivent qui valent aussi lorsque la dépendance en d est partout remplacée par une dépendance moins précise en K. Notre premier résultat montre que, sous la conjecture E, nous pouvons aussi borner de manière uniforme d’autres quantités associées à une variété abélienne. Théorème 1.1 Si la conjecture E vaut, pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel ctel que, si Kest un corps de nombres de degré det Aune variété abélienne de dimension gsur K, alors il existe un faisceau inversible Lample et symétrique sur Atel que degLA≤c ; pour toute variété abélienne A′sur Kisogène à Asur Kil existe une K-isogénie φ:A→A′avec degφ≤c ; CardA(K)tors≤c.  Les assertions (1) et (2) résultent assez directement des méthodes de [9]. Dans ce dernier texte sont établies des bornes explicites et inconditionnelles mais non uniformes c’est-à-dire qui, outre g=dimA et d=[K:Q], font apparaître la hauteur de Faltings stable hF(A) de A. Pour les rappeler rapidement, notons κ(A)=((14g)64g2dmax(1,hF(A),logd)2)1024g3. Alors (1) et (2) valent avec c=κ(A). En outre, les énoncés de [9] permettent aussi de montrer une version non uniforme de la conjecture E : le discriminant de EndA est au plus κ(A)2g (voir proposition 2.12). Le fait (3) que la conjecture E entraîne la conjecture uniforme de torsion nous demandera en revanche plus de travail. Nous montrerons l’énoncé plus précis suivant. Proposition 1.2 Soit Aune variété abélienne de dimension gsur un corps de nombres K. Si cest un réel tel que, pour toute variété abélienne A′sur Kisogène à Asur K, il existe une K-isogénie φ:A→A′avec degφ≤c, alors CardA(K)tors≤4gc4g2+1[K:Q]4g. En particulier, pour c=κ(A), nous obtenons une majoration explicite du nombre de points de torsion de A. Nous pouvons même montrer un peu plus précisément CardA(K)tors≤κ(A)4g+1 (voir proposition 2.9). Même s’il existe plusieurs autres méthodes pour borner ce nombre, il ne semble pas qu’une expression totalement explicite ait jamais été publiée. Dans le cas d’une variété abélienne simple et principalement polarisée, David (voir [5] et [6]) a donné des bornes où les exposants du degré et de la hauteur sont meilleurs mais la dépendance en g n’est pas explicite. La démonstration du théorème 1.1 est elle aussi explicite : elle fournit une formule en fonction de la constante de la conjecture E (voir proposition 2.13). On peut par exemple en déduire que si la conjecture E donne une borne polynomiale en d alors il en va de même des majorations produites par le théorème 1.1. L’argument peut aussi être limité à une classe de variétés abéliennes stable par isogénies et produits : si la conjecture E vaut pour les éléments d’une telle classe alors les bornes du théorème 1.1 s’en déduisent pour les éléments de cette classe. Rappelons aussi que la conjecture uniforme de torsion est connue lorsque g=1 par le résultat de Merel [12] (rendu explicite par Parent [15]) et dans le cas des variétés abéliennes CM (Silverberg [19], voir aussi [10]). Pour celles-ci la conjecture E vaut également, comme conséquence du résultat de Tsimerman [23]. 1.2. Minoration de hauteur Nous allons maintenant décrire plusieurs versions de la conjecture de Lang–Silverman pour faire ensuite le lien entre elles sous la conjecture E. Le principe commun est de minorer des valeurs de la hauteur de Néron-Tate sur A(K) en fonction d’une hauteur de A. Lang a d’abord formulé une conjecture pour les courbes elliptiques (voir [21, p. 233]) puis Silverman a proposé une version générale [20, p. 395]. Dans les deux cas, la hauteur de A employée était écrite comme la somme d’une hauteur modulaire et d’une contribution des places de mauvaise réduction. Dans ce texte, nous utilisons plutôt la hauteur de Faltings relative (comme dans [4, p. 263]). Pour cela, nous notons hF,K(A) la hauteur de Faltings de A sur K (c’est-à-dire calculée à l’aide d’un modèle de Néron sur l’anneau des entiers de K, sans faire d’extension pour avoir un modèle semi-stable) puis, pour alléger, h1(A)=max(1,hF,K(A)). Ensuite, pour minorer de manière intéressante la hauteur de Néron-Tate d’un point P∈A(K), il faut bien entendu supposer que celle-ci n’est pas nulle c’est-à-dire que P n’est pas un point de torsion. Lorsque A est une courbe elliptique ou, plus généralement, une variété abélienne simple, il est raisonnable de se limiter à cette hypothèse. Pour une variété arbitraire en revanche, elle ne suffit pas comme l’on s’en convainc en considérant une variété produit A=B×C et un point P=(Q,0) où Q∈B(K)⧹B(K)tors : la hauteur de Q ne peut pas contrôler la hauteur de C. Pour cette raison, la conjecture énoncée par Silverman [20, p. 395] est fausse. S. David [6] suggère de remplacer l’hypothèse que P n’est pas de torsion par : P n’est pas torsion sur EndA (ce qui signifie que P n’est de torsion modulo aucune sous-variété abélienne stricte de A). Ceci élimine le problème précédent mais semble un peu trop fort : par exemple, si A=A0n où A0 est simple, il n’y a pas de raison d’aller au-delà des points de torsion (puisque les hauteurs de A et de A0 sont comparables). Ainsi nous introduisons une hypothèse intermédiaire en ne considérant que la torsion sur le centre Z(EndA) de l’anneau EndA (elle se traduit aussi en disant que P n’est pas de torsion modulo certaines sous-variétés abéliennes strictes — celles qui sont stables sous EndA — voir ci-dessous et le lemme 3.3). Voici donc notre première version de la conjecture où hL désigne la hauteur de Néron-Tate associée à une polarisation L. Conjecture 1.3 Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne de dimension gsur K, Lune polarisation principale sur Aet P∈A(K)un point qui n’est pas de torsion sur Z(EndA), alors hL(P)≥c−1h1(A). Dans un premier temps, nous avons donc conservé une polarisation principale comme Silverman [20] et David [6]. Pour traiter le cas général, nous sommes guidés par un résultat de Bertrand [1] qui montre une minoration inconditionnelle proportionnelle à (degLA)1/g (sous l’hypothèse forte que P n’est pas de torsion sur EndA). Toutefois ceci ne peut pas être combiné directement avec la hauteur : une minoration en (degLA)1/gh1(A) serait fausse (voir paragraphe 3.4). Pour obtenir un énoncé plausible, nous introduisons les composantes isotypiques de A : ce sont les sous-variétés abéliennes de A isogènes à une puissance d’une variété abélienne simple et maximales pour l’inclusion. Ceci posé, notre deuxième avatar de la conjecture est le suivant. Conjecture 1.4 Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne de dimension gsur K, Lune polarisation sur Aet P∈A(K)un point sans torsion sur EndA, alors hL(P)≥c−1∑i=1s(degLAi)1/dimAih1(Ai) où A1,…,Assont les composantes isotypiques de A. Enfin, une autre façon d’envisager la question, inspirée par le résultat de David [6], consiste à faire apparaître une sous-variété obstructrice : lorsque le point P ne satisfait pas la minoration voulue, on contrôle une sous-variété abélienne B telle que P∈B+Ators. Ce point de vue nous conduit à la formulation suivante où la variété obstructrice B est en fait indépendante de P. Conjecture 1.5 Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne de dimension gsur Ket Lune polarisation sur A, alors il existe une sous-variété abélienne stricte Bde Avérifiant degLB≤cdegLAet un entier naturel Navec 1≤N≤cde sorte que, pour P∈A(K), ou hL(P)≥c−1h1(A)ou NP∈B. Signalons que cette conjecture serait fausse avec une majoration de degré plus forte degLB≤c(degLA)1−ɛ où ɛ>0 (voir paragraphe 3.4). Nous pouvons énoncer le second résultat principal de ce texte. Théorème 1.6 Si la conjecture E est vraie, alors les conjectures1.3, 1.4et1.5sont équivalentes. Cela signifie en particulier que si la conjecture E (conjecture de Coleman) et la conjecture 1.3 (variante assez proche de la conjecture de Silverman) sont vraies alors c’est également le cas des versions plus riches des conjectures 1.4 et 1.5. Au cours de la preuve du théorème 1.6, nous introduirons encore d’autres formulations (par exemple cantonnées aux variétés simples) équivalentes sous la conjecture E et nous montrerons également quelques implications inconditionnelles. Nous verrons aussi que, si toutes les conjectures sont vraies, alors la variété obstructrice B de la conjecture 1.5 peut être explicitement choisie comme B=A2+⋯+As où A1,…,As sont les composantes isotypiques de A ordonnées de sorte que h1(A1)≥h1(Ai) pour 1≤i≤s. Par ailleurs, la condition de la conjecture 1.3 que P n’est pas de torsion sous Z(EndA) s’exprime aussi plus concrètement à l’aide des composantes isotypiques A1,…,As de A : elle est équivalente à P∈A1+⋯+Ai−1+(Ai)tors+Ai+1+⋯+As pour tout 1≤i≤s (lemme 3.3). De la même façon que dans le paragraphe précédent, toutes les implications que nous démontrons sont explicites. Par exemple, nous pouvons exprimer les constantes apparaissant dans les conjectures 1.4 et 1.5 en fonction de celles des conjectures E et 1.3 (lorsque nous supposons vraies ces deux dernières). Pour un énoncé intermédiaire de ce type, on consultera par exemple la proposition 4.12. Comme nous nous intéressons seulement ici aux rapports entre les différentes formulations de la conjecture de Lang–Silverman, nous ne détaillons pas les résultats connus en direction de celle-ci. Rappelons simplement qu’à ce jour, elle n’est démontrée pour aucun couple (d,g) (quelle que soit la version). Nous renvoyons à [16] pour un passage en revue des résultats les plus significatifs (dont celui d’Hindry–Silverman en dimension 1 et celui de David en dimension quelconque). 1.3. Conventions et notations Dans ce texte, nous ne faisons jamais d’extension de corps implicite. Cela signifie que lorsque A est un schéma sur un corps K nous ne considérons que les propriétés de A et non celles de ses extensions AK′=A×SpecKSpecK′ où K′ est un surcorps de K. Par exemple, si A est une variété abélienne sur K, elle est dite simple si elle n’a pas de sous-variété abélienne stricte non nulle, que AK¯ soit simple ou non. De même, deux variétés abéliennes A et B sur K sont dites isogènes lorsqu’il existe un morphisme de K-schémas en groupes A→B surjectif et de noyau fini. La notation Hom(A,B) désigne les morphismes de K-schémas en groupes (et non Hom(AK¯,BK¯)) comme EndA=Hom(A,A) et ainsi de suite. Ceci vaut pour toutes les notions introduites, par exemple pour les composantes isotypiques ( AK¯ peut avoir plus de composantes isotypiques que A) même si nous rappellerons parfois pour le confort du lecteur que tel ou tel objet est défini sur K. Deux cas particuliers doivent être signalés. D’une part, nous conservons la terminologie usuelle pour les variétés abéliennes de type CM, définie à l’aide de l’anneau des endomorphismes de AK¯. Cela nous amènera à parler de variété abélienne complètement CM lorsque de plus tous les endomorphismes de AK¯ proviennent d’endomorphismes de A (voir paragraphe 2.2). D’autre part, nous commettons un léger abus de notations pour parler de polarisation. Une polarisation sur A est un morphisme A→A∨ de K-schémas de A vers sa duale dont l’extension à K¯ s’écrit ϕL pour un faisceau inversible symétrique et ample L sur AK¯. Par abus de langage, nous parlons de L comme de la polarisation qu’il définit même s’il n’est défini qu’à 2-torsion près et n’est pas en général défini sur K (cependant L⊗2 est uniquement déterminé par la polarisation et défini sur K). Ceci n’a pas d’incidence car les notions que nous utilisons ci-dessous sont définies par la polarisation : il s’agit de la hauteur de Néron-Tate hL sur A(K) et du degré degLV d’un fermé V de A. Nous employons la notation Z(A)=(A×A^)4 pour une variété abélienne A (pour mettre en œuvre l’astuce de Zarhin, voir lemme 4.6) et nous écrivons aussi Z(A) pour le centre d’un anneau A, aucune confusion n’étant possible. Pour finir cette introduction, disons quelques mots des ingrédients de nos démonstrations. Dans la partie suivante, des résultats algébriques sur les ordres maximaux (proposition 2.4) nous permettent de donner un théorème de structure pour le noyau d’une isogénie A→A lorsque EndA est un tel ordre, en nous appuyant notamment sur l’étude des variétés abéliennes ayant cette propriété présentée dans [18]. Nous en déduisons un critère pour qu’une isogénie cyclique soit minimale (proposition 2.6) dont la proposition 1.2 découle assez rapidement, modulo le résultat uniforme dans le cas CM. Pour passer au théorème 1.1, nous nous basons sur les énoncés de [9]. La partie 3 expose ensuite des résultats préparatoires en vue de la démonstration du théorème 1.6. En particulier, nous démontrons en détail des faits de base sur les composantes isotypiques (lemme 3.2), faute d’une référence adéquate. Nous exploitons aussi le théorème d’isogénie de [9] pour donner des comparaisons entre la hauteur d’une variété abélienne et celles de ses sous-variétés abéliennes (proposition 3.7). Nous concluons par un contre-exemple qui montre que certains renforcements de nos conjectures sont impossibles. Enfin, dans la dernière partie, après avoir énoncé plusieurs variantes des conjectures de Lang–Silverman, nous établissons une série d’implications entre elles dont résulte en particulier le théorème 1.6. Les différentes démonstrations, assez imbriquées, reposent entre autres sur un argument de Bertrand (lemme 4.11) et l’astuce de Zarhin intervient plusieurs fois. 2. Polarisations, isogénies et points de torsion Dans cette partie, nous démontrons la proposition 1.2 et le théorème 1.1. Nous commençons par des préliminaires d’algèbre non commutative. 2.1. Module fini sur un ordre maximal Soient n≥1 un entier et G un groupe abélien fini. Nous disons que G est formé de n copies s’il existe un groupe G0 et un isomorphisme G≃G0n. Bien entendu, si cette propriété vaut pour n, elle vaut pour ses diviseurs et elle vaut toujours pour n=1. Dans la suite, cette locution ne s’applique qu’aux groupes abéliens c’est-à-dire que nous disons qu’un module est formé de n copies lorsque c’est le cas du groupe abélien sous-jacent. Voici un exemple simple. Lemme 2.1 Soient ℓ≥1un entier et kun corps fini de caractéristique p. Tout module à droite fini sur l’anneau de matrices Mℓ(k)est formé de ℓ[k:Fp]copies. Démonstration. Un tel module M s’écrit comme k-espace vectoriel M=M(10⋱0)⊕M(01⋱0)⊕⋯⊕M(00⋱1)≃(M(10⋱0))ℓ (on montre que les facteurs sont deux à deux isomorphes en faisant agir les matrices de transpositions). Ainsi il existe n≥0 tel que M≃knℓ comme k-espace donc M≃(Z/pZ)nℓ[k:Fp] comme groupe.□ Voici maintenant un critère pour qu’un groupe soit formé de n copies (qui permet en fait de supposer que le groupe est un espace vectoriel sur Fp, comme c’était en particulier le cas dans le lemme précédent). Lemme 2.2 Soient n≥1un entier et Gun groupe abélien fini. Le groupe Gest formé de ncopies si et seulement si, pour tout nombre premier pet tout entier i≥0, le cardinal du quotient piG/pi+1Gest une puissance de pn. Démonstration. Si G=G0n alors piG/pi+1G≃(piG0/pi+1G0)n et le cardinal de piG0/pi+1G0 est une puissance de p puisque nous avons affaire à un Fp-espace vectoriel. Réciproquement, il existe une unique famille (presque nulle) d’entiers naturels eq,j telle que G≃∏q,j(Z/qjZ)eq,j où q parcourt les nombres premiers et j les entiers naturels non nuls. Alors piG/pi+1G≃∏j>i(Z/pZ)ep,j donc l’hypothèse affirme que n divise ∑j>iep,j. Nous en déduisons qu’il divise tous les eq,j puis le résultat.□ Pour le reste de ce paragraphe, nous nous plaçons dans la situation suivante. Soient D un corps de dimension finie sur Q, Z son centre, e=[D:Z]1/2 et O un ordre maximal de D. Le fait crucial suivant nous permettra d’employer le lemme 2.1. Lemme 2.3 Si Iest un idéal bilatère maximal de Oalors O/I≃Mℓ(k)pour un entier ℓ≥1et un corps fini kavec e=ℓ[k:O∩Z/I∩Z]. Démonstration. Nous utilisons le livre de Reiner [17] auquel renvoient toutes les références qui suivent. Tout d’abord notons que O∩Z est l’anneau des entiers OZ du corps de nombres Z et que p=I∩Z=I∩OZ en est un idéal maximal (voir (22.3)). Le complété Dp est une algèbre centrale simple sur Zp (7.8) donc s’écrit Mℓ(F) pour un corps F de centre Zp. Nous avons e2=[D:Z]=[Dp:Zp]=ℓ2[F:Zp]. Par (11.6), Op est un ordre maximal de Dp donc (voir (17.3)) est isomorphe à Mℓ(Δ) où Δ est l’unique ordre maximal de F. De plus Ip est un idéal bilatère maximal de Op donc Ip=radOp (22.4). Nous avons O/I≃Op/Ip≃Mℓ(Δ/radΔ) par (17.5). Ici Δ/radΔ est un corps fini que nous nommons k. Enfin, [k:OZ/p]=f(F/Zp) (définition page 140) et f(F/Zp)=[F:Zp]1/2 par (14.3) donc [k:OZ/p]=e/ℓ.□ Voici la conclusion. Proposition 2.4 Tout O-module à droite fini est formé de ecopies. Démonstration. En vertu du lemme 2.2, il suffit de montrer que, pour tout nombre premier p, un O/pO-module fini M a pour cardinal une puissance de pe. Or l’idéal bilatère pO s’écrit comme un produit d’idéaux bilatères maximaux [17, (22.10)] pO=∏i=1nIi. En filtrant M par ses quotients successifs Mj=M∏i=1j−1Ii/M∏i=1jIi ( 1≤j≤n) nous avons CardM=∏i=1nCardMi où chaque Mi est un O/Ii-module. Or, par les lemmes 2.1 et 2.3, Mi est formé de e copies.□ Ce résultat serait faux sans l’hypothèse de maximalité de O : dans les quaternions D=Q⊕Qi⊕Qj⊕Qk où i2=j2=k2=ijk=−1 ( Z=Q, e=2) considérons pour un nombre premier p l’ordre O=Z⊕Zpi⊕Zpj⊕Zpk ; alors le O-module à droite O/piO n’est pas formé de 2 copies, étant isomorphe comme groupe à Z/p2Z×(Z/pZ)2. 2.2. Isogénies Nous revenons aux variétés abéliennes. Considérons pour commencer une variété abélienne simple A sur un corps K de caractéristique nulle. Ici D=EndA⊗Q est un corps, nous notons Z son centre, e=[D:Z]1/2 et δ=[Z:Q] ainsi que g=dimA. Nous exploitons l’étude du paragraphe précédent pour établir le fait suivant. Lemme 2.5 Soient n≥1un entier et φ:An→Anune isogénie. Si EndAest maximal alors Kerφest formé de 2g/δecopies. Démonstration. Nous pouvons supposer que K est un sous-corps de C. Désignons alors par t et Ω l’espace tangent et le réseau des périodes de AC. Le groupe Kerφ s’écrit dφ−1(Ωn)/Ωn ou Ωn/dφ(Ωn) après application de l’isomorphisme dφ:tn→tn. Si nous choisissons un entier N≥1 tel que Kerφ⊂Ker[N], nous pouvons même écrire Kerφ≃(Ω/NΩ)n/dφ(Ω/NΩ)n. L’intérêt est que Ω/NΩ est un O/NO-module libre par maximalité de O=EndA : en effet, il suffit de le voir pour N=pf ( p premier, f≥1) et alors Ω/NΩ≃Ω⊗Zp/(N·Ω⊗Zp) tandis que Ω⊗Zp est un module libre sur O⊗Zp [11, lemme 4.1]. Ainsi par calcul des rangs, Ω/NΩ≃(O/NO)2g/δe2 puis Kerφ≃(On/M·On)2g/δe2 où M∈Mn(O) est la matrice correspondant à φ. Par la proposition 2.4, le O-module à droite On/M·On est formé de e copies d’où le résultat.□ Bien entendu, ce lemme ne donne aucune information lorsque δe=2g. Cette égalité signifie que A est de type CM [14, p. 183] et que tous les endomorphismes de AK¯ sont définis sur K. Nous dirons que A est complètement CM ou CCM en abrégé (en accord avec la terminologie de [10]). Si nous excluons ce cas, nous pouvons démontrer la généralisation suivante du fait qu’une isogénie cyclique entre courbes elliptiques non CM est minimale. Proposition 2.6 Soient Kun corps de caractéristique nulle, Aet A′deux variétés abéliennes sur Ket φ:A→A′une K-isogénie cyclique. Si EndAest maximal et si Ane contient aucune sous-variété abélienne simple et complètement CM alors Hom(A,A′)=φ·EndA. Démonstration. D’après les résultats de [18, 1.6], la maximalité de EndA entraîne l’existence de sous-variétés abéliennes simples A1,…,As de A deux à deux non isogènes telles que A est un facteur direct d’un produit ∏i=1sAini pour des entiers ni≥1. De plus chaque EndAi est maximal. Si χ:A→A est une isogénie, on peut l’étendre en une isogénie χ′:∏i=1sAini→∏i=1sAini de sorte que Kerχ≃Kerχ′ (puisque A est facteur direct). De plus χ′ est le produit d’isogénies χi:Aini→Aini et, par le lemme 2.5, Kerχi≃Gimi pour un groupe Gi et mi≥2 puisque par hypothèse Ai n’est pas CCM. Ainsi Kerχ≃∏i=1sGimi et nous en déduisons que si N est un entier tel que le groupe N·Kerχ est cyclique alors ce groupe est trivial. Considérons maintenant une isogénie ψ:A→A′. Si N=degψ, il existe une isogénie ψ′:A′→A telle que ψ◦ψ′=[N]. Définissons χ=ψ′◦φ∈EndA. Si x∈Kerχ alors φ(x)∈Kerψ′⊂Ker[N] donc Nx∈Kerφ. Ceci entraîne que N·Kerχ est contenu dans le groupe cyclique Kerφ donc, par ce qui précède, est trivial. Par suite Kerχ⊂Ker[N] donc il existe α∈EndA tel que [N]=α◦χ. Maintenant ψ◦χ=ψ◦ψ′◦φ=[N]◦φ=φ◦[N]=φ◦α◦χ puis, χ étant une isogénie, ψ=φ◦α∈φ·EndA. Soit finalement β∈Hom(A,A′). La composante neutre du noyau de β est une sous-variété abélienne B de A (définie sur K) donc d’après [18, 1.2] facteur direct : A=B+C, B∩C=0 pour une sous-variété abélienne C de A. Nous choisissons un quasi-supplémentaire B′ de C′=β(C) dans A′ puis une isogénie γ:B→B′. Soit alors ψ:A→A′ l’isogénie donnée par γ sur B et β sur C. Nous avons vu ψ∈φ·EndA. De plus par construction β=ψ◦π où π:A→A est le projecteur sur C de noyau B. Par suite β∈φ·EndA.□ En présence de multiplication complexe, cette proposition tombe en défaut : il peut exister une infinité d’isogénies cycliques non minimales. Par exemple, si E est une courbe elliptique avec EndE=Z[i], alors pour chaque nombre premier p≡1[4] il existe a,b∈Z tels que p=a2+b2 donc l’isogénie a+ib:E→E est de degré p et par conséquent cyclique. 2.3. Torsion Nous démontrons ici la proposition 1.2 et une majoration inconditionnelle de CardA(K)tors. L’idée est qu’un point de torsion définit une isogénie cyclique. Nous souhaitons donc appliquer la proposition 2.6. Pour nous placer sous ses hypothèses, nous pouvons assurer un anneau d’endomorphismes maximal à l’aide d’une isogénie mais il faut traiter différemment le cas CM. Heureusement, la conjecture uniforme de torsion est en fait démontrée dans ce cas par Silverberg. Les résultats plus précis de [10] ont la conséquence suivante. Proposition 2.7 Soit Aune variété abélienne de dimension gsur un corps de nombres K. Si Aest un produit de variétés abéliennes isotypiques CCM alors CardA(K)tors≤4g[K:Q]4g. Démonstration. D’après le théorème 2 de [10] (qui s’étend immédiatement à un produit), nous avons CardA(K)tors≤X2g où X est le plus grand entier tel que φ(X)≤[K:Q]. On vérifie facilement X≤2φ(X)2 d’où le résultat.□ Démonstration de la proposition1.2. D’après [18, 1.1], A est isogène sur K à une variété abélienne A1 telle que EndA1 est un ordre maximal. De plus A1 est produit de facteurs simples donc nous pouvons écrire A1=B×C où tous les facteurs de C sont CCM alors qu’aucun facteur de B ne l’est. Soit P∈B(K)tors. Soit ψ:B→B1 l’isogénie dont le noyau est engendré par P. Posons A2=B1×C. Notons φi:A→Ai ( i=1,2) et χ:A1→A des isogénies de degrés minimaux. Par hypothèse, degφi≤c et degχ≤c2g−1 (puisque degχ≤degχ′ où χ′:A1→A est l’isogénie telle que χ′◦φ1=[degφ1]). La proposition 2.6 affirme Hom(B,B1)=ψ·EndB d’où Hom(A1,A2)=(ψ×idC)·EndA1 d’où l’on tire c2g≥degφ2◦χ≥degψ×idC=degψ=ord(P).Ainsi CardB(K)tors≤c2g·2dimB≤c4g2 tandis que, par la proposition 2.7, CardC(K)tors≤4g[K:Q]4g ( dimC≤g). Nous obtenons CardA1(K)tors≤4g[K:Q]4gc4g2 et nous concluons au moyen de l’isogénie φ1 qui permet d’écrire CardA(K)tors≤(degφ1)CardA1(K)tors puisque A(K)tors⊂φ1−1A1(K)tors.□ Pour donner une version inconditionnelle plus précise, nous utiliserons le lemme auxiliaire suivant pour la fonction κ(·) définie dans l’introduction. Lemme 2.8 Si Best une sous-variété abélienne d’une variété abélienne Asur un corps de nombres alors κ(B)(dimB)−3≤κ(A)(dimA)−3. Si A′est une variété abélienne isogène à Aalors κ(A′)≤κ(A)19/16. Démonstration. Nous déduisons la première assertion de la majoration hF(B)≤hF(A)+(1/2)logκ(A) fournie par le corollaire 1.5 de [9]. En effet, si d est le degré du corps de base et g=dimA, (1/2)logκ(A) vaut 512g3(64g2log(14g)+logd+2log max(1,logd,hF(A)))≤512g3(64g2log(14g)+3)max(1,logd,hF(A))≤512g6(64log(14)+3)max(1,logd,hF(A)). Avec 64log(14)+3≤28−1, on a max(1,logd,hF(B))≤217g6max(1,logd,hF(A)). En majorant (217g6)2≤(14g)12, nous voyons que κ(B)(1024(dimB)3)−1 est au plus (14g)64(dimB)2+12dmax(1,logd,hF(A))2. Si B≠A, le résultat découle de 64(dimB)2+12≤64(g−1)2+12≤64g2. Si B=A, il est tautologique. Pour A′, la même majoration hF(A′)≤hF(A)+(1/2)logκ(A) vaut par le théorème 1.4 de [9] donc nous calculons de même et concluons par 64g2+12≤76g2=(19/16)64g2.□ La démarche utilisée pour démontrer la proposition 1.2 donne aussi les bornes non uniformes suivantes. Proposition 2.9 Soit Aune variété abélienne de dimension gsur un corps de nombres K. Le groupe fini A(K)torsest d’exposant au plus κ(A)35/16et de cardinal au plus κ(A)4g+1. Démonstration. Comme dans la preuve dans la proposition 1.2, notons A1=B×C une variété abélienne isogène à A telle que CardC(K)tors≤(4[K:Q]4)dimC et B ne contient pas de variété abélienne simple CCM. Si P∈B(K)tors, la proposition 2.6 assure que l’isogénie ψ:B→B1 de noyau engendré par P est minimale donc d’après le théorème 1.4 de [9] de degré au plus κ(B). Par suite l’ordre d’un élément de A1(K)tors est majoré par κ(B)(4[K:Q]4)dimC≤κ(B)κ(C)≤κ(A1)((dimB)3+(dimC)3)/g3≤κ(A1) d’après le lemme 2.8 qui donne aussi κ(A1)≤κ(A)19/16. Grâce à l’isogénie φ1:A→A1 choisie de degré minimal donc ≤κ(A), nous voyons que l’exposant de A(K)tors est majoré par (degφ1)κ(A1)≤κ(A)35/16. Pour le cardinal, choisissons aussi deux isogénies φ2:A→A2=B1×C et χ:A1→A de degrés minimaux. Le théorème 1.4 de [9] assure degφ2≤κ(A) et degχ≤κ(A). Comme dans la démonstration de la proposition 1.2, nous voyons que l’exposant de B(K)tors est majoré par degφ2◦χ donc CardB(K)tors≤κ(A)4dimB. Puisque 2[K:Q]≤κ(A) nous avons CardC(K)tors≤κ(A)4dimC d’où CardA1(K)tors≤κ(A)4g et, grâce à φ1, CardA(K)tors≤κ(A)4g+1.□ 2.4. Discriminants Nous terminons cette partie en démontrant le théorème 1.1 ainsi que la majoration de discriminant annoncée dans l’introduction. Il s’agit d’abord de faire le lien entre le discriminant de EndA et les quantités employées dans [9]. Nous allons manipuler deux notions de trace sur EndA⊗R : la trace intrinsèque TrEndA, mentionnée dans l’introduction, définie par la représentation régulière et la trace TrA utilisée dans [9, p. 2063] (où elle était notée simplement Tr) qui dépend de l’action des endomorphismes sur A. Grâce à l’involution de Rosati φ↦φ†, l’espace EndA⊗R est muni de la norme euclidienne ∣φ∣=TrA(φφ†)1/2 qui fait de EndA un réseau euclidien. Nous notons comme dans [9] vol(EndA) son covolume et nous désignons par t son rang. Lemme 2.10 Nous avons g−tdisc(EndA)≤vol(EndA)2≤(2g)tdisc(EndA). Démonstration. La démonstration de la proposition 2.9 de [9] dit que vol(EndA)2 s’écrit comme la valeur absolue du déterminant de la matrice t×t de terme général TrA(φiφj) où φ1,…,φt est une base quelconque de EndA. Vu la définition du discriminant, il suffit de montrer g−1TrEndA≤TrA≤2gTrEndA sur EndA⊗R. Nos deux traces étant invariantes par conjugaison par une isogénie, nous pouvons supposer que A s’écrit comme le produit ∏i=1sAi de ses composantes isotypiques (voir lemme 3.2 ci-dessous). Alors EndA≃∏i=1sEndAi donc TrA=∑i=1sTrAi et TrEndA=∑i=1sTrEndAi. Comme EndAi⊗Q est une algèbre simple, les traces TrAi et TrEndAi sont toutes deux multiples de la trace réduite [14, p. 179–82]. Ainsi TrAi(idAi)TrEndAi=TrEndAi(idAi)TrAi puis, comme TrAi(idAi)=2dimAi et 1≤TrEndAi(idAi)=rgEndAi≤2(dimAi)2, nous avons g−1TrEndAi≤(dimAi)−1TrEndAi≤TrAi≤2dimAi·TrEndAi≤2gTrEndAi d’où le résultat.□ En vertu de cette comparaison, nous pouvons maintenant entièrement travailler dans le cadre de [9]. Nous nous plaçons dans la situation de la partie 6 de cet article dont nous reprenons les notations. En particulier, A″ est une variété abélienne isogène à A et Λ=Λ(Hom(Z(A″),Z(A))) désigne le dernier minimum du réseau euclidien Hom(Z(A″),Z(A)). Lemme 2.11 Nous avons vol(EndA)≤Λ4t. Démonstration. Commençons par majorer vol(EndA)≤vol(EndZ(A))1/32≤Λ(EndZ(A))rgEndZ(A)/32 par [9, p. 2068] et l’inégalité d’Hadamard. Nous avons ensuite rgEndZ(A)=64t. Par le lemme 3.4 de [9] il vient Λ(EndZ(A))≤Λ(Hom(Z(A),Z(A″)))Λ(Hom(Z(A″),Z(A)))=Λ2 où l’égalité résulte de l’isométrie entre Hom(Z(A),Z(A″)) et Hom(Z(A″),Z(A)) [9, p. 2066].□ Ces deux lemmes suffisent pour majorer le discriminant inconditionnellement (nous rappelons que κ(A) a été défini dans l’introduction). Proposition 2.12 Soient Aune variété abélienne de dimension gsur un corps de nombres Ket K′une extension de K. Alors disc(EndAK′)≤κ(A)rgEndAK′/g≤κ(A)2g. Démonstration. Nous établissons ceci comme les théorèmes principaux de [9]. Par ce qui précède, nous pouvons rajouter à la proposition 6.3 la majoration disc(EndA)g/t≤ggΛ8g. Cette quantité ggΛ8g est inférieure à la borne (10g)5g(ΛΛ′)4g∏i=1tΛi8ni2gidi qui apparaît à la fin de la partie 6 si nous choisissons A′=A pour avoir Λ′=Λ. Le reste de la démonstration ne subit aucune modification : la partie 9 permet de traiter l’extension de corps (et autorise le choix A′=A) puis la majoration du lemme 9.3 s’applique aussi à disc(EndA)g/t étant donné que la démonstration de celui-ci n’utilise que la borne ci-dessus et le lemme 9.4 donne la conclusion.□ Enfin, nous démontrons le théorème 1.1 sous la forme plus précise et explicite suivante. Proposition 2.13 Soient Kun corps de nombres et Aune variété abélienne de dimension gsur K. Si γest un réel tel que, pour tout couple (C,C′)de variétés abéliennes sur Kisogènes à A, on a disc(EndC×C′)≤γalors il existe un faisceau inversible Lample et symétrique sur Atel que degLA≤(4g)8g3γ3g/4 ; pour toute variété abélienne Bsur Kisogène à Ail existe deux isogénies φ:A→Bet ψ:B→Atelles que (degφ)(degψ)≤(4g)16g3γ2g ; CardA(K)tors≤(4g)19g4[K:Q]4gγ9g2/4. Démonstration. En vertu du lemme 2.10, nous utiliserons l’hypothèse sous la forme vol(EndC×C′)≤(4g)4g2γ1/2. Nous choisissons un ordre maximal O de EndA⊗Q contenant EndA et posons NA=[O:EndA]. D’après le théorème 1.1 de [18], il existe une variété abélienne A′ et deux isogénies φA:A→A′ et ψA:A′→A de sorte que ψA◦φA=[NA] et EndA′≃O. D’une part, nous avons NA=vol(EndA)/vol(EndA′)≤vol(EndA) (voir [9, proposition 2.9]). D’autre part, la maximalité de EndA′ montre ([18, théorème 1.2]) que A′ s’écrit comme un produit de variétés abéliennes simples : A′=∏i=1sAi. Notons gi=dimAi et di=rgEndAi≤2gi. (1) Fixons un faisceau inversible ample et symétrique Li sur Ai tel que degLiAi est minimal. Le théorème 4.5 de [9] entraîne degLiAi≤gi!(7gi3/2)gi(h0(Ai,Li)h0(A^i,L^i))di/2vol(Hom(Ai,A^i))gi où L^i est une polarisation sur A^i choisie comme dans [9, p. 2075] et le volume est calculé par rapport à la métrique de Rosati définie par Li et L^i. Par la proposition 4.1 (1) de [9] nous avons en particulier 1≤(h0(A^i,L^i)h0(Ai,Li))di/2vol(Hom(A^i,Ai))gi donc nous trouvons en multipliant degLiAi≤gi!(7gi3/2)givol(Hom(Ai,A^i))givol(Hom(A^i,Ai))gi≤gi!(7gi3/2)givol(End(Ai×A^i))gi (voir, dans [9], la proposition 2.9 et la formule pour le produit page 2068). Nous définissons ensuite L′ sur A′ par produit des Li puis L=φA*L′. Alors degLA=degφA·g!∏i=1sgi!−1degLiAi≤NA2g(2g)3gvol(End(A′×A′^))g≤(2g)3gvol(EndA2)g/2vol(End(A′×A′^))g puisque vol(EndA2)=vol(EndA)4. Les deux volumes qui apparaissent sont majorés par (4g)4g2γ1/2 et le résultat suit car (2g)3g≤(4g)2g3. (2) Nous associons à B (comme ci-dessus pour A) une variété abélienne B′ produit de simples et des isogénies φB:B→B′ et ψB:B′→B avec ψB◦φB=[NB] où NB≤vol(EndB). Nous écrivons B′=∏i=1sBi où Bi est isogène à Ai. Par le lemme 4.1 (1) de [9], nous avons des isogénies φi:Ai→Bi et ψi:Bi→Ai avec degφi·degψi≤vol(EndAi×Bi)2gi/di. Il suffit donc de poser φ=ψB◦(∏i=1sφi)◦φA et ψ=ψA◦(∏i=1sψi)◦φB. Nous avons degφ·degψ≤(NANB)2g∏i=1svol(EndAi×Bi)2gi≤vol(EndA×B)2gvol(EndA′×B′)2g≤((4g)4g2γ1/2)4g. (3) Nous procédons comme dans la démonstration de la proposition 1.2 : si Ai n’est pas CCM, nous notons Pi un point de Ai(K)tors d’ordre maximal et ψi:Ai→Ci l’isogénie de noyau engendré par Pi ; la proposition 2.6 montre ici directement que ψi est de degré minimal donc en utilisant le lemme 4.1 (1) de [9] comme ci-dessus, nous avons ord(Pi)=degψi≤vol(EndAi×Ci)2gi/di. Avec CardAi(K)tors≤ord(Pi)2gi, il vient CardAi(K)tors≤vol(EndAi×Ci)4gi2/di et nous en déduisons CardA(K)tors≤NA2g4g[K:Q]4gvol(EndA′×C′)4g2 où C′=∏i=1sCi (on choisit Ci=Ai si Ai est CCM). Avec l’estimation NA2g≤vol(EndA2)g/2 nous aboutissons à CardA(K)tors≤4g[K:Q]4g((4g)4g2γ1/2)4g2+g/2 et un calcul conclut.□ 3. Résultats auxiliaires Nous réunissons ici quelques énoncés préliminaires avant d’aborder la démonstration du théorème 1.6 dans la partie suivante. 3.1. Degré d’une somme Nous commençons par une inégalité purement géométrique. Proposition 3.1 Soient Kun corps, Aune variété abélienne sur K, Lune polarisation sur Aet B1, B2deux sous-variétés abéliennes de A. Alors h0(B1+B2,L)h0(B1∩B2,L)≤h0(B1,L)h0(B2,L).De plus cette inégalité est une égalité si et seulement si B1contient l’orthogonal de B2dans B1+B2. Démonstration. Nous supposons sans perte de généralité que A=B1+B2. Dans un premier temps, nous considérons le cas où B1∩B2 est un schéma fini. Ici l’application somme π:B1×B2→A est une isogénie de noyau B1∩B2 donc de degré h0(B1∩B2,L) L’inégalité de l’énoncé découle alors directement du corollaire 4 de [7]. De plus le théorème 3 qui le précède nous dit qu’il y a égalité si et seulement si π*L≃p1*(L∣B1)⊗p2*(L∣B2). Il nous reste à voir que cette condition équivaut à B2⊥⊂B1 ou encore, par dimension, à B1⊂B2⊥. Par définition de l’orthogonal, cette dernière inclusion signifie que (τx*L)∣B2≃L∣B2 pour tout x∈B1(K¯). Comme (τx*L)∣B2≃(π*τx*L)∣B2≃(τ(x,0)*π*L)∣B2, nous voyons immédiatement que si π*L≃p1*(L∣B1)⊗p2*(L∣B2) alors B1⊂B2⊥. Réciproquement, nous appliquons le lemme de la balançoire [14, corollaire 6 p. 54] au faisceau M=π*L⊗p2*(L∣B2)⊗−1 sur B1×B2 : si x∈B1(K¯) nous avons M∣{x}×B2≃(τx*L)∣B2⊗L∣B2⊗−1 en identifiant {x}×B2 et B2 ; ainsi, d’après B1⊂B2⊥, cette restriction est triviale pour tout x donc le lemme de la balançoire montre que M s’écrit sous la forme p1*L′ où L′∈Pic(B1) ; comme M∣B1×{0}≃L∣B1 il vient L′≃L∣B1 puis le résultat. Dans le cas général, notons C la composante neutre de B1∩B2 et D l’orthogonal de C dans B2. Nous abrégeons aussi h0(·,L) en h0(·). Comme B2=C+D, nous avons B1∩B2=B1∩(C+D)=C+(B1∩D) avec C⊂B1. Par suite, les schémas en groupes finis (B1∩B2)/C et (B1∩D)/(C∩D) sont isomorphes d’où l’on tire h0(C∩D)h0(B1∩B2)=h0(C)h0(B1∩D). En outre, par la première partie, nous avons h0(C∩D)h0(B2)=h0(C)h0(D) (cas d’orthogonalité) et h0(A)h0(B1∩D)≤h0(D)h0(B1) (grâce à A=B1+D) avec égalité si et seulement si D⊥⊂B1. En combinant nous avons bien h0(A)h0(B1∩B2)≤h0(B1)h0(B2) et il suffit de vérifier que D⊥⊂B1 équivaut à B2⊥⊂B1. Or D⊥=C+B2⊥ : l’inclusion C+B2⊥⊂D⊥ est claire et les deux membres ont la même dimension car C∩B2⊥⊂B2∩B2⊥ est fini.□ Pour le cas d’égalité lorsque B1∩B2 est fini l’on retrouve un résultat de Bertrand [2, théorème 3]. 3.2. Composantes isotypiques Une variété abélienne sur un corps K est dite isotypique si elle est isogène à la puissance d’une variété abélienne simple. Toutes les sous-variétés abéliennes et tous les quotients d’une variété abélienne isotypique sont isotypiques. Si A est une variété abélienne, on appelle composantes isotypiques de A ses sous-variétés abéliennes isotypiques maximales. Voici les propriétés élémentaires de ces composantes. Lemme 3.2 Soient Aune variété abélienne et (Ai)i∈Ila famille de ses composantes isotypiques. L’ensemble Iest fini. L’application de somme ∏i∈IAi→Aest une isogénie. Si φ:∏j∈JBjnj→Aest une isogénie où les Bisont des variétés abéliennes simples deux à deux non isogènes et njdes entiers naturels non nuls alors il existe une bijection σ:J→Itelle que φ(Bjnj)=Aσ(j). Si i,j∈Iet i≠jalors Hom(Ai,Aj)=0. Si J⊂I, les sous-variétés abéliennes ∑i∈JAiet ∑i∈I⧹JAisont orthogonales pour toute polarisation de A. Si Best une sous-variété abélienne non nulle de A, les composantes isotypiques de Bsont les éléments non nuls de la famille des composantes neutres des B∩Ai, i∈I. Tout endomorphisme de Alaisse stable chacun des Aiet l’application induite EndA→∏i∈IEndAiest injective de conoyau fini. Les sous-variétés abéliennes de Astables sous EndAsont les ∑i∈JAioù J⊂I. Démonstration. Nous utiliserons ci-dessous le fait que si B et B′ sont deux sous-variétés abéliennes de A telles que Hom(B,B′)=0 alors B∩B′ est fini. En effet si B∩B′ contenait une sous-variété abélienne non nulle C alors nous pourrions composer une isogénie B→B^, le morphisme surjectif B^→C^ (dual de C↪B), une isogénie C^→C et l’inclusion C↪B′ pour obtenir un morphisme non nul B→B′. Nous supposons par ailleurs dans toute la suite que A est non nulle (sinon le lemme est clair). Choisissons arbitrairement des isogénies Ai→Dimi pour i∈I où Di est simple et mi≥1. Soient i,j∈I avec i≠j. Si Di et Dj sont isogènes alors nous avons des isogénies Dimi+mj→Dimi×Djmj→Ai×Aj donc un morphisme surjectif Dimi+mj→Ai+Aj. Ceci entraîne que Ai+Aj est isotypique. Par maximalité Ai+Aj=Ai=Aj ce qui est absurde. Ainsi Di et Dj ne sont pas isogènes donc Hom(Di,Dj)=0 puis Hom(Dimi,Djmj)=Mmj,mi(Hom(Di,Dj))=0. Par isogénies, nous avons (4). Montrons maintenant par récurrence sur s≥1 que, pour tout J⊂I de cardinal s, la somme ∏j∈JAj→∑j∈JAj est une isogénie. Ceci est tautologique pour s=1. Supposons l’assertion vraie pour un entier s et considérons un ensemble de cardinal s+1 sous la forme J∪{i} où CardJ=s. Par hypothèse de récurrence, il suffit de démontrer que Ai×∑j∈JAj→Ai+∑j∈JAj est une isogénie, autrement dit que Ai∩∑j∈JAj est fini. Or nous avons Hom(Ai,∏j∈JAj)=∏j∈JHom(Ai,Aj)=0 par (4) donc, par isogénie, Hom(Ai,∑j∈JAj)=0 et la remarque liminaire permet de conclure notre raisonnement par récurrence. Nous en déduisons (1) puisque si J est une partie finie de I nous avons CardJ≤∑j∈JdimAj=dim∑j∈JAj≤dimA. Si ∑i∈IAi≠A il existe une sous-variété abélienne simple B de A telle que B∩∑i∈IAi est fini. Mais B est simple donc isotypique donc contenue dans une sous-variété isotypique maximale, c’est-à-dire l’une des Ai donc B⊂∑i∈IAi, contradiction. Ceci établit (2). Prouvons (3). Si j∈J, la sous-variété abélienne φ(Bjnj) est isotypique donc il existe σ(j)∈I tel que φ(Bjnj)⊂Aσ(j). Nous avons ∑j∈Jφ(Bjnj)=A donc A=∑j∈JAσ(j)=∑i∈σ(J)Ai ce qui entraîne σ(J)=I. Si j,k∈J, j≠k et σ(j)=σ(k) alors φ(Bjnj×Bknk)⊂Aσ(j) donc Bjnj×Bknk est isotypique ce qui est absurde. Ainsi σ est une bijection et dimA=∑j∈Jdimφ(Bjnj)≤∑j∈JdimAσ(j)=dimA conduit à φ(Bjnj)=Aσ(j) pour tout j∈J. Pour (5), notons B=∑i∈JAi et B′=∑i∈I⧹JAi. Par (2) et (4), B×B′→A est une isogénie et Hom(B′,B)=0. Si une sous-variété C de A est telle que la somme B×C→A est une isogénie alors A/B,B′,C sont isogènes comme B,A/B′,A/C. En particulier Hom(C,A/B′)=0 donc la composée C↪A→A/B′ est nulle d’où C=B′. Ceci s’applique à C=B⊥ pour une polarisation quelconque de A. (6) Notons Ci pour i∈I la composante neutre de B∩Ai et (Bj)j∈J la famille des composantes isotypiques de B. Ce sont des sous-variétés isotypiques de A donc si j∈J il existe σ(j)∈I tel que Bj⊂Aσ(j). Il vient Bj⊂Cσ(j)⊂B et, comme Cσ(j) est isotypique, Bj=Cσ(j) par maximalité de Bj. Les composantes de B sont donc bien de la forme annoncée. Réciproquement si Ci≠0 alors il existe j∈J tel que Ci⊂Bj=Cσ(j). Ici Ai∩Aσ(j) est infini donc i=σ(j) et Ci=Bj. (7) Soient φ∈EndA et i∈I. La sous-variété abélienne φ(Ai), quotient de Ai, est isotypique donc φ(Ai)⊂Aj pour un j∈J. Ainsi φ induit un morphisme φi:Ai→Aj. Si φ(Ai)≠0 alors φi≠0 force i=j par (4) donc φ(Ai)⊂Ai. Si φ(Ai)=0 nous pouvons aussi choisir j=i pour avoir dans tous les cas φi∈EndAi. Ceci fournit bien un morphisme d’anneaux EndA→∏i∈IEndAi, φ↦(φi)i∈I. Si tous les φi sont nuls, φ(A)=φ(∑i∈IAi)=∑i∈Iφi(Ai)=0 d’où l’injectivité. Si ψi∈EndAi pour tout i∈I, nous pouvons former ψ=(ψi)i∈I:∏i∈IAi→A. Si N est le degré de l’isogénie (2) alors Nψ se factorise à travers cette isogénie en φ∈EndA. Il vient φi=Nψi donc le conoyau de notre application est annulé par N donc fini. (8) Par (6) et (7), si B⊂A est stable sous EndA et i∈I, alors la composante neutre Ci de B∩Ai est stable sous EndAi. Si Ci≠0 il existe une surjection Cini→Ai donc Hom(Ci,Ai)·Ci=Ai. Fixons une surjection f:Ai→Ci telle que f∣Ci soit la multiplication [N]∈EndCi par un entier naturel non nul N. Ainsi f(Ci)=[N]Ci=Ci donc Ai=Hom(Ci,Ai)·f(Ci)⊂EndAi·Ci. Par stabilité Ci=Ai. Ainsi si J={i∈I∣Ci≠0} alors B=∑i∈JAi.□ Nous pouvons donner la caractérisation suivante annoncée dans l’introduction. Lemme 3.3 Soient Aune variété abélienne non nulle sur un corps Ket (Ai)i∈Ises composantes isotypiques. Un point P∈A(K¯)est de torsion sur Z(EndA)si et seulement s’il existe i∈Itel que P∈∑j∈I⧹{i}Aj(K¯)+A(K¯)tors. Démonstration. Si A est isotypique, Z(EndA)⊗Q=Z(EndA⊗Q) est un corps de nombres : en effet EndA⊗Q est invariant par isogénie et, si A est la puissance d’une variété simple, EndA⊗Q=Mn(D) pour un corps D ; ainsi Z(EndA)⊗Q≃Z(Mn(D))≃Z(D). Par conséquent dans ce cas tout élément non nul de Z(EndA) divise un entier naturel non nul donc P∈A(K¯) est de torsion sur Z(EndA) si et seulement s’il est de torsion sur Z c’est-à-dire P∈A(K¯)tors. Si A est produit de variétés isotypiques, A=∏i∈IAi, alors P=(Pi)i∈I est de torsion sur Z(EndA)=∏i∈IZ(EndAi) si et seulement si l’un des Pi est de torsion. En général, on conclut grâce à l’isogénie ∏i∈IAi→A.□ Nous utiliserons encore la formule suivante. Proposition 3.4 Soit Aune variété abélienne munie d’une polarisation L. Si (Ai)i∈Isont ses composantes isotypiques et Dle degré minimal d’une isogénie ∏i∈IAi→Aalors ∏i∈Ih0(Ai,L)=Dh0(A,L). Démonstration. Notons s,φ:∏i∈IAi→A l’isogénie de somme et une isogénie quelconque. D’après l’assertion (3) du lemme 3.2, φ(Ai)=Ai donc φ induit des endomorphismes φi:Ai→Ai. Nous avons donc φ=s◦∏i∈Iφi. Ceci prouve que s est une isogénie minimale et en particulier D=degs. Notre formule résulte donc de h0(∏i∈IAi,s*L)=∏i∈Ih0(Ai,L) qui est une conséquence de la proposition 3.1 (itérée) en vertu de l’orthogonalité (5) du lemme 3.2.□ Si nous utilisons D≥1 et h0(A,L)=g!−1degLA (avec g=dimA) nous avons dans la situation de la proposition ∏i∈IdegLAi≥g!−1degLA et donc par inégalité arithmético-géométrique ∑i∈I(degLAi)1/dimAih1(Ai)≥1g∑i∈I∑j=1dimAi(degLAi)1/dimAih1(Ai)≥(∏i∈I(degLAi)h1(Ai)dimAi)1/g≥(degLA)1/gg∏i∈Ih1(Ai)dimAi/g si K est un corps de nombres. En minorant h1≥1 nous voyons que la conjecture 1.4 entraîne la version uniforme suivante du résultat de Bertrand [1]. Conjecture 3.5 Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne de dimension gsur K, Lune polarisation sur Aet P∈A(K)un point sans torsion sur EndA, alors hL(P)≥c−1(degLA)1/g. D’après le calcul précédent nous pourrions rajouter un terme de hauteur. Celui-ci vaudrait h1(A) dans le cas isotypique mais pas sinon. Nous verrons à la fin de cette partie que la minoration hL(P)≥c−1(degLA)1/gh1(A) est fausse en général. Avant cela, nous allons comparer les h1(Ai) à h1(A). 3.3. Comparaisons de hauteurs de Faltings Nous donnons ici quelques conséquences du théorème d’isogénie de [9] pour la variation de la hauteur de Faltings. Pour alléger, nous notons, pour des réels u,v>0, [u∣v]=max(u/v,v/u) et log1u=max(1,logu). Le lecteur vérifiera sans peine que, si (ui)i∈I et (vi)i∈I sont des familles de réels >0, alors [maxi∈Iui∣maxi∈Ivi]≤maxi∈I[ui∣vi] et [u∣w]≤[u∣v][v∣w] pour u,v,w>0. Lemme 3.6 Si Aet Bsont deux variétés abéliennes isogènes de dimension gsur un corps de nombres Kalors [h1(A)∣h1(B)]≤217g6log1[K:Q]. Démonstration. D’après le théorème 1.4 de [9], nous avons hF,K(B)≤hF,K(A)+(1/2)logκ(A). En calculant comme pour le lemme 2.8, ceci est majoré par h1(A)+29g3(64g2log(14g)+log[K:Q]+2max(h1(A),log[K:Q]))≤(1+29g3(64g2log(14g)+3))(log1[K:Q])h1(A)≤(1+29(64log(14)+3))g6(log1[K:Q])h1(A). Avec 64log(14)+3≤28−1 nous avons h1(B)≤217g6(log1[K:Q])h1(A) puis le résultat par symétrie.□ Il s’agit bien sûr d’un affaiblissement assez net du résultat puisque nous avons majoré logh1(A) par h1(A). Dans la démonstration suivante, nous utiliserons la minoration de Bost de la hauteur de Faltings d’une variété abélienne A de dimension g sur un corps de nombres K. Une démonstration apparaît dans l’appendice de [8] où la minoration est écrite h(A)≥−glog2π (corollaire 8.4) avec la convention h(A)=hF(A)+logπ (page 352 de [8]). Comme hF,K(A)≥hF(A) et log(π2)≤3/2, nous emploierons ceci sous la forme hF,K(A)≥−3g/2. Proposition 3.7 Soient Aune variété abélienne de dimension gsur un corps de nombres K, (Ai)i∈Ila famille de ses composantes isotypiques, Bune sous-variété abélienne non nulle de Aet J={i∈I∣B∩Aiinfini}. [h1(A)∣maxi∈Ih1(Ai)]≤218g7log1[K:Q]. [h1(B)∣maxi∈Jh1(Ai)]≤235g21(log1[K:Q])2. Si maxi∈Ih1(Ai)=maxi∈Jh1(Ai)alors [h1(B)∣h1(A)]≤253g28(log1[K:Q])3.  Ici encore les estimations ne sont pas optimales. Par exemple, au prix de plus de calculs, les trois bornes pourraient être linéaires en log1[K:Q]. Démonstration. Pour i∈I, notons Bi la composante neutre de B∩Ai. D’après le lemme 3.2, assertions (2) et (6), B est isogène à ∏i∈JBi donc d’après le lemme précédent [h1(B)∣h1(∏i∈JBi)]≤217(dimB)6log1[K:Q]. Puisque hF,K(∏i∈JBi)=∑i∈JhF,K(Bi), nous avons h1(∏i∈JBi)≤(CardJ)maxi∈Jh1(Bi). Par ailleurs, la minoration de Bost hF,K(Bi)≥−(3/2)dimBi fournit pour j∈J l’inégalité hF,K(Bj)≤(3/2)dim(B/Bj)+hF,K(∏i∈JBi). Nous en déduisons [h1(∏i∈JBi)∣maxi∈Jh1(Bi)]≤2dimB donc [h1(B)∣maxi∈Jh1(Bi)]≤218(dimB)7log1[K:Q]. Si nous choisissons B=A cette inégalité donne (1). Maintenant, si i∈J, les variétés abéliennes isotypiques AidimBi et BidimAi sont isogènes. Par le lemme précédent, [h1(AidimBi)∣h1(BidimAi)]≤217(dimAi)6(dimBi)6log1[K:Q] tandis que [h1(AidimBi)∣h1(Ai)]≤dimBi et de même pour BidimAi. En multipliant, nous trouvons [maxi∈Jh1(Ai)∣maxi∈Jh1(Bi)]≤217g14log1[K:Q]. Avec la relation précédente pour h1(B) nous obtenons (2). L’assertion (3) se déduit directement de (1) et (2).□ 3.4. Un contre-exemple Nous démontrons ici que la conjecture obtenue en remplaçant dans la conjecture 3.5 la conclusion par hL(P)≥c−1(degLA)1/gh1(A) est fausse. Nous donnons un exemple explicite dans le cas (d,g)=(1,2) c’est-à-dire pour une surface abélienne A sur Q. Nous raisonnons par l’absurde. Étant donné un entier naturel b>e10, nous notons E la courbe elliptique sur Q donnée par le modèle affine de Weierstraß y2=x3+b(b+1)2x. Soient L1 sa polarisation principale et Q∈E(Q) le point de coordonnées affines (b(b+1),b(b+1)2). D’après [22, (11) p. 727], la hauteur de Néron-Tate vérifie ∣2hL1(Q)−logb(b+1)∣≤(1/2)log(b(b+1)2)+5 d’où l’on déduit 0<2hL1(Q)<5logb en utilisant logb>10. En particulier Q n’est pas un point de torsion. Considérons ensuite un autre entier e10<b′<e11 et associons-lui (E′,L2,Q′) comme (E,L1,Q) est associé à b. Notons m=[logb]. Nous allons appliquer notre hypothèse à la surface A=E×E′ polarisée par L=p1*L1⊗p2*L2⊗m et au point P=(Q,Q′). Ceci signifie qu’ou hL(P)≥c−1(degLA)1/2h1(A) ou P est de torsion sur EndA. Examinons le premier cas. Nous aurions 30logb≥5+5logb′2logb≥hL1(Q)+mhL2(Q′)=hL(P)≥c−1(degLA)1/2h1(A)=c−12mh1(A) par un calcul immédiat de degré donc h1(A)≤30clogb. Voyons que, pour b sans facteur carré et assez grand, ceci contredit l’estimation 112log max(∣j∣,∣Δj∣)≤(1+ɛ)hF,Q(E)+Oɛ(1) donnée par Silverman [4, p. 258] où j et Δ sont l’invariant modulaire et le discriminant minimal de E/Q. Ici j=1728 tandis que Δ=a3 où a est la partie sans puissance quatrième de 4b(b+1)2. En particulier b∣a donc max(∣j∣,∣Δj∣)=∣Δj∣≥b3 puis hF,Q(E)≥(1/5)logb−c′ d’où h1(A)≥(1/5)logb−c″ (pour des constantes c′ et c″) qui fournit la contradiction cherchée pour b grand (sans facteur carré). Il reste à éliminer le cas où P est de EndA-torsion. Comme Q et Q′ ne sont pas de torsion, cela signifierait que E et E′ sont isogènes (sur Q) mais le lemme 3.6 donnerait alors une borne pour h1(E)≤217h1(E′) qui contredit à nouveau l’estimation hF,Q(E)≥(1/5)logb−c′. Nous terminons cette partie en montrant comment essentiellement le même contre-exemple interdit de renforcer la conjecture 1.5 en imposant la borne degLB≤c(degLA)1−ɛ pour un ɛ>0. Nous choisissons les mêmes A et L mais considérons le point P′=(0,Q′) et le poids m=[(logb)1/2]. Alors hL(P′)≤28m≤28(logb)1/2 rend impossible hL(P′)≥c−1h1(A) comme plus haut (toujours pour b assez grand et sans facteur carré). Donc, si la condition renforcée était vraie, un multiple non nul NP′ de P′ (nous n’avons pas besoin de la borne sur N) serait contenu dans une sous-variété abélienne stricte B de A vérifiant la borne de degré. Comme Q′ n’est pas de torsion, nous avons nécessairement B=0×E′ d’où degLB=m. Puisque degLA=2m, la majoration degLB≤c(degLA)1−ɛ est intenable pour m assez grand (c’est-à-dire b assez grand). 4. Conjectures de Lang–Silverman Nous introduisons de nouvelles variantes des conjectures 1.3, 1.4 et 1.5 puis démontrons une série d’implications entre elles qui entraînent en particulier le théorème 1.6. 4.1. Autres versions Nous énonçons d’abord un renforcement de la conjecture 1.3 qui consiste simplement à barrer le mot principale. Conjecture 4.1 Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne de dimension gsur K, Lune polarisation sur Aet P∈A(K)un point qui n’est pas de torsion sur Z(EndA), alors hL(P)≥c−1h1(A). Nous considérons ensuite plusieurs affaiblissements de nos conjectures. En premier lieu, nous restreignons l’énoncé précédent aux variétés simples (en simplifiant l’hypothèse grâce au lemme 3.3). Conjecture 4.2 Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne simple de dimension gsur K, Lune polarisation sur Aet P∈A(K)un point qui n’est pas de torsion, alors hL(P)≥c−1h1(A). Nous obtenons une variante encore plus faible en autorisant la constante c à dépendre du degré degLA. Conjecture 4.3 Pour tout triplet d’entiers naturels non nuls (d,g,Δ)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne simple de dimension gsur K, Lune polarisation sur Aavec degLA=Δet P∈A(K)un point qui n’est pas de torsion, alors hL(P)≥c−1h1(A). Finalement, nous atténuons la conjecture 1.5 dans le même esprit. Conjecture 4.4 Pour tout triplet d’entiers naturels non nuls (d,g,Δ)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne de dimension gsur K, Lune polarisation sur Aavec degLA=Δet P∈A(K), alors ou hL(P)≥c−1h1(A)ou il existe un sous-groupe algébrique strict de Acontenant Pet de degré au plus crelativement à L. Nous disposons maintenant de 7 conjectures de Lang–Silverman. Pour préciser les implications entre elles, nous donnons encore un nom aux conjectures uniformes d’isogénie et de torsion (correspondant aux assertions (2) et (3) du théorème 1.1). Conjecture I Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel ctel que, si Kest un corps de nombres de degré det A,A′deux variétés abéliennes isogènes de dimension gsur K, alors il existe une isogénie A→A′de degré au plus c. Conjecture T Pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel ctel que, si Kest un corps de nombres de degré det Aune variété abélienne de dimension gsur K, alors CardA(K)tors≤c. Rappelons que le théorème 1.1 et la proposition 1.2 nous donnent en particulier E⟹I⟹T. Voici le résultat détaillé qui entraîne immédiatement le théorème 1.6. Nous écrivons A⟹BCpour(AetB)⟹C. Théorème 4.5 Nous avons le diagramme d’implications suivant entre nos conjectures En particulier, si la conjecture E est vraie, les 7 conjectures1.3, 1.4, 1.5, 4.1, 4.2, 4.3et4.4sont équivalentes. Le reste de cette partie est dévolu à la démonstration de ce théorème. 4.2. Implications faciles Nous avons trivialement 4.1 ⟹1.3 et 4.1 ⟹4.2 ⟹4.3. En spécialisant au cas simple, nous voyons 4.4 ⟹4.3 et même 1.5 ⟹4.2 qui n’a pas trouvé sa place dans le diagramme. Pour obtenir 1.5 ⟹4.4, il suffit de rappeler la formule degL[N]−1B=N2dim(A/B)degLB pour une sous-variété abélienne B de A et un entier non nul N. Par ailleurs, nous avons déjà vu 1.4 ⟹3.5 comme corollaire de la proposition 3.4. Nous avons ensuite besoin de l’astuce de Zarhin que nous énonçons sous la forme suivante. Lemme 4.6 Étant donné une variété abélienne polarisée (A,L)sur un corps K, il existe une polarisation principale Msur Z(A)=A4×A^4telle que, si Aest vue comme sous-variété abélienne de Z(A)par l’injection sur le premier facteur, alors M∣A≃L. Démonstration. Rappelons la construction telle qu’elle est donnée pour établir (11.29) page 171 de [13]. On choisit un entier non nul m tel que KerϕL⊂Ker[m] puis quatre entiers avec a2+b2+c2+d2=m−1. On forme le morphisme f:A8→Z(A) donné matriciellement par f=([1][a][−b][−c][−d][1][b][a][−d][c][1][c][d][a][−b][1][d][−c][b][a]ϕLϕLϕLϕL) en omettant les coefficients nuls. On montre alors qu’il existe une polarisation M sur Z(A) telle que f*M soit la polarisation sur A8 produit de 8 copies de L. L’égalité degf=h0(A,L)8 assure que M est principale tandis que M∣A≃L découle du fait que la restriction de f au premier facteur de A8 donne l’injection du premier facteur dans Z(A) (première colonne de la matrice). Une subtilité est que, si la polarisation L est représentée par un faisceau inversible symétrique, la construction ne garantit pas qu’il en aille de même de M mais nous ne parlons bien que des polarisations.□ Dans la suite, nous verrons toujours A⊂Z(A) comme dans ce lemme. Nous rappelons aussi hF,K(Z(A))=8hF,K(A) d’où h1(A)≤h1(Z(A))≤8h1(A) si K est un corps de nombres. Lemme 4.7 La conjecture1.3entraîne la conjecture4.1. Démonstration. Soit (d,g)∈(N⧹{0})2. Notons c la constante associée au couple (d,8g) fournie par la conjecture 1.3. Si A, L et P sont comme dans la conjecture 4.1, nous voyons P comme point de Z(A)(K). S’il n’est pas de torsion sur Z(EndZ(A)) alors hL(P)=hM(P)≥c−1h1(Z(A))≥c−1h1(A). Comme il existe une isogénie Z(A)→A8 respectant les inclusions A⊂Z(A) et A⊂A8 (premier facteur), si P était de torsion sur Z(EndZ(A)) alors (P,0,…,0) serait de torsion sur Z(EndA8)=Z(M8(EndA))≃Z(EndA) (matrices diagonales) donc P serait de torsion sur Z(EndA), ce qui est exclu par hypothèse.□ Mentionnons la conséquence directe suivante de la conjecture T. Lemme 4.8 Si la conjecture T est vraie alors pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un entier Ntel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne de dimension gsur K, Bune sous-variété abélienne de Aet P∈A(K)un point dont un multiple par un entier non nul appartient à Balors NP∈B(K). Démonstration. Il suffit de définir N comme le plus petit commun multiple de tous les Card(A/B)(K)tors pour A,B,K comme dans l’énoncé. La conjecture T en assure la finitude.□ Pour déduire (conditionnellement) les conjectures 4.1 et 1.5 de la conjecture 1.4, nous utilisons le résultat intermédiaire suivant. Proposition 4.9 Si les conjectures1.4et T sont vraies, alors pour tout couple d’entiers naturels non nuls (d,g)il existe un réel c>0tel que, si Kest un corps de nombres de degré d, Aune variété abélienne de dimension gsur K, Lune polarisation sur A, P∈A(K)un point qui n’est pas de torsion et BPla plus petite sous-variété abélienne de Acontenant un multiple non nul de P, alors hL(P)≥c−1h1(BP). Démonstration. Notons N un entier comme dans le lemme précédent. Alors NP est un point de BP(K). Soit φ∈EndBP tel que φ(NP)=0. Comme NP∈Kerφ, un multiple non nul de P appartient à la composante neutre (Kerφ)0. Par minimalité de BP, il vient (Kerφ)0=BP donc φ=0. Ainsi le point NP n’est pas de torsion sur EndBP. Appliquons-lui donc la conjecture 1.4. En notant (Bi)i∈I les composantes isotypiques de BP et en omettant les termes de degré il vient hL(NP)≥c−1maxi∈Ih1(Bi) puis hL(P)=N−2hL(NP)≥c−1N−2(218g7log1d)−1h1(BP) en employant l’assertion (1) de la proposition 3.7 (pour BP).□ Les deux implications se démontrent alors de manière semblable. Lemme 4.10 Les conjectures1.4et T entraînent la conjecture4.1. Les conjectures1.4et I entraînent la conjecture1.5. Démonstration. Comme I ⟹ T, nous pouvons utiliser la proposition précédente dans les deux cas. Fixons d,g,K,A,L comme dans les conjectures 4.1 et 1.5 puis P∈A(K) et BP comme dans la proposition. Notons (Ai)1≤i≤s les composantes isotypiques de A ordonnées de sorte que h1(A1)=max1≤i≤sh1(Ai). Posons encore B=A2+⋯+As. Si BP⊄B alors l’orthogonal de B∩BP dans BP est une sous-variété abélienne non nulle contenue dans l’orthogonal de B qui vaut A1 par le lemme 3.2 assertion (5) donc BP∩A1 est infini, ce qui se traduit par 1∈J dans la proposition 3.7 puis (assertion (3)) h1(A)≤253g28(log1d)3h1(BP). Sous l’hypothèse de la conjecture 4.1, P n’est pas de torsion sur Z(EndA) donc (lemme 3.3) aucun multiple non nul de P n’appartient à B. Dans ce cas, nous avons donc BP⊄B puis l’inégalité de hauteur qui, combinée à la proposition 4.9, fournit la conclusion souhaitée. Établissons maintenant la conjecture 1.5. Si BP⊄B nous concluons exactement de la même façon à l’inégalité de la forme hL(P)≥c−1h1(A). Si BP⊂B alors, par le lemme 4.8, B contient un multiple NP où N≥1 est borné en termes de d et g. Il reste à majorer le degré de B. Or, dans le cadre de la proposition 3.4, nous avons h0(B,L)≤∏i=2sh0(Ai,L)≤Dh0(A,L). Il suffit donc de majorer uniformément D par la conjecture I.□ 4.3. Utilisation de la conjecture E Dans ce paragraphe, nous montrons que les conjectures 4.3 et E entraînent la conjecture 1.4. Nous commençons par reformuler l’argument de Bertrand [1, p. 235–8] dans le cas isotypique. Lemme 4.11 Soient Aune variété abélienne isotypique de dimension gsur un corps de nombres K, Let L′deux polarisations sur Aet P∈A(K)un point qui n’est pas de torsion sur EndA. Alors, si nous notons t=rgEndA, il existe ψ∈EndA⧹{0}tel que hL(P)≥(degLA)1/gt·disc(EndA)1/t(degL′A)1/ghL′(ψ(P)). Démonstration. Nous considérons trois formes quadratiques qi:EndA⊗R→R ( i=1,2,3) définies par q1(φ)=hL(φ(P)), q2(φ)=hL′(φ(P)) et q3(φ)=TrEndA(φ†φ) pour φ∈EndA⊗R. Elles sont définies positives car (pour q1 et q2) l’application φ↦φ(P) est injective par hypothèse sur P. Nous notons alors vi(EndA) le covolume de EndA pour la norme euclidienne qi1/2 sur EndA⊗R. Par le premier théorème de Minkowski (tel qu’il est énoncé dans [9, lemme 3.1]), il existe ψ∈EndA⧹{0} tel que hL′(ψ(P))=q2(ψ)≤t·v2(EndA)2/t. Ensuite il existe β∈EndA⊗R tel que L=β*L′ (voir [1, Proposition 3(ii)] : extraction de racine carrée dans {χ∈EndA⊗R∣χ†=χ}). Ainsi degLA=degβ·degL′A et q1(φ)=q2(βφ) pour tout φ∈EndA⊗R. Cette formule peut s’écrire q1=q2◦[β] où [β]:EndA⊗R→EndA⊗R est la multiplication à gauche par β. Par suite, nous avons v1(EndA)=(det[β])v2(EndA). Le déterminant β′↦det[β′] de la représentation régulière est une application polynomiale de degré t, le degré β′↦degβ′ est de degré 2g et, grâce à l’hypothèse que A est isotypique, ces deux applications sont des puissances de la norme réduite (puisque EndA⊗Q est simple : voir [14, p. 179–82] ou [1, p. 235]). Par conséquent, il vient det[β]=(degβ)t/2g puis t·v2(EndA)2/t=t(degβ)−1/gv1(EndA)2/t=t(degL′A)1/g(degLA)1/gv1(EndA)2/t. Comparons maintenant v1 et v3. Comme φ↦φ† est l’adjonction par rapport au produit scalaire b1 associé à q1, nous avons q1(φ)=b1(φ,φ)=b1(idA,φ†φ)≤TrEndA(φ†φ)b1(idA,idA)=q3(φ)hL(P) (voir [1, p. 238]) donc en passant aux covolumes v1(EndA)2/t≤hL(P)v3(EndA)2/t. En combinant, nous trouvons (degLA)1/ghL′(ψ(P))≤t·v3(EndA)2/t(degL′A)1/ghL(P) et il reste seulement à constater disc(EndA)=v3(EndA)2 : ceci signifie simplement que, si φ1,…,φt est une base de EndA, les matrices de terme général TrEndA(φiφj) et TrEndA(φi†φj) ont des déterminants de même valeur absolue, comme dans la démonstration de la proposition 2.9 de [9].□ Soit à présent A une variété abélienne de dimension g sur un corps de nombres K de degré d. Nous notons A1,…,As les composantes isotypiques de A. Nous faisons le choix d’une isogénie φ:∏i=1sBini→A où les Bi sont simples et deux à deux non isogènes ainsi que de polarisations Ni sur Bi. Nous supposons aussi que la numérotation des Bi est telle que φ(Bini)=Ai (voir lemme 3.2 (3)). Nous écrivons D=degφ, gi=dimBi, ti=rgEndBi et Δi=degNiBi. De plus, si le triplet (d,gi,Δi) satisfait l’affirmation de la conjecture 4.3, nous notons c(d,gi,Δi) le réel correspondant ; sinon nous posons c(d,gi,Δi)=+∞. Proposition 4.12 Avec les hypothèses ci-dessus, pour toute polarisation Lsur Aet tout point P∈A(K)qui n’est pas de EndA-torsion, nous avons hL(P)≥12g5D3∑i=1s(degLAi)1/dimAih1(Ai)c(d,gi,Δi)Δi1/gidisc(EndBi)1/ti. Démonstration. Puisque l’isogénie induite φi:Bini→Ai est au plus de degré D, nous avons ∣hF,K(Ai)−nihF,K(Bi)∣≤(logD)/2 d’où h1(Ai)≤(ni+(logD)/2)h1(Bi)≤gDh1(Bi). Notons Li=φi*(L∣Ai). La formule de projection nous donne d’abord degLiBini=(degφi)degLAi≥degLAi. En outre, φ*L est le produit des images réciproques des Li : cela se déduit du cas d’égalité du théorème 3 de [7] car h0(∏i=1sBini,φ*L)=∏i=1sh0(Bini,Li) par la proposition 3.1 et l’orthogonalité (5) du lemme 3.2. Si nous désignons par χ l’isogénie A→∏i=1sBini telle que φ◦χ=[D] alors le point χ(P) s’écrit (Q1,…,Qs) où Qi∈Bini(K) est sans torsion sur End(Bini). Il vient donc hL(P)=D−2hL(φ(χ(P)))=D−2hφ*L(χ(P))=D−2∑i=1shLi(Qi). Écrivons Li′ pour le produit des images réciproques de Ni sous les ni projections standards Bini→Bi. Nous calculons degLi′Bini=(nigi)!gi!−ni(degNiBi)ni≤(nigi)nigiΔini d’où la majoration (degLi′Bini)1/nigi≤gΔi1/gi. Appliquons maintenant le lemme 4.11 à (Bini,Li,Li′,Qi). Nous obtenons ψi∈End(Bini)⧹{0} avec hLi(Qi)≥(degLAi)1/nigini3ti·disc(EndBi)1/tigΔi1/gihLi′(ψi(Qi)) en utilisant que End(Bini)=Mni(EndBi) est de rang ni2ti et de discriminant nini2tidisc(EndBi)ni2. Comme ψi est non nul, le point ψi(Qi)∈Bi(K)ni n’est pas de torsion, ce qui signifie que c’est le cas pour l’une de ses coordonnées, disons Ri. Alors par définition de c(d,gi,Δi) nous trouvons hLi′(ψi(Qi))≥hNi(Ri)≥1c(d,gi,Δi)h1(Bi)≥1gDc(d,gi,Δi)h1(Ai). Il reste seulement à majorer ni3ti≤2g3 et à combiner nos estimations.□ Cette proposition permet de montrer très facilement la conjecture 1.4 lorsque les conjectures 4.3 et E sont vraies. En effet, la première donne la finitude de la fonction c(·,·,·) utilisée tandis que la seconde montre que les quantités D, Δi et disc(EndBi) peuvent être choisies parmi un ensemble fini lorsque d et g sont fixés : pour Δi, cela vient de l’assertion (1) du théorème 1.1 (sur Bi) ; pour D, de son assertion (2) ; pour disc(EndBi) directement de la conjecture E. 4.4. Fin des démonstrations Pour établir le théorème 4.5, il nous reste seulement à voir 4.4 ⟹1.5 ⟹ T. Bien sûr, si la conjecture E est vraie, nous avons montré 4.4 ⟹4.3 ⟹1.4 ⟹1.5 (et la conjecture T est vraie). L’intérêt ici est de fournir des implications inconditionnelles. La déduction de la conjecture T à partir de la conjecture 1.5 ne présente pas de difficultés : cette dernière, réduite au cas des points de torsion (de hauteur nulle), affirme en effet A(K)tors⊂[N]−1B(K)tors pour un entier N borné et une sous-variété abélienne stricte B de A ; la majoration Card(A(K)tors)≤N2gCard(B(K)tors) entraîne donc immédiatement la conjecture T par récurrence sur la dimension de A. Si nous avons mentionné la conjecture T, ce n’est pas tant à cause de cette implication facile mais plutôt parce qu’elle interviendra aussi dans la démonstration de 4.4 ⟹1.5. Nous commençons donc en fait par établir 4.4 ⟹ T et la preuve de cette implication sert aussi de préparation à la suivante basée sur le même principe mais plus délicate. Dans les deux cas, nous utilisons les conventions suivantes. Un corps de nombres K de degré d sera fixé. Comme nous supposons la conjecture 4.4 vérifiée, nous notons c1(g,Δ) pour des entiers g et Δ une constante dont elle assure l’existence et nous imposons que cette fonction c1(·,·) soit croissante en ses deux paramètres : ceci est possible puisque nous pouvons augmenter librement la valeur de cette constante dans la conjecture 4.4. Lemme 4.13 La conjecture4.4entraîne la conjecture T. Démonstration. Commençons par traiter le cas d’une variété abélienne munie d’une polarisation principale. Nous fixons un entier g≥1 et définissons une suite de réels u0,…,ug par u0=g! et ui+1=c1(g−i,ui) pour 0≤i≤g−1. Nous posons aussi v0=1 et vi+1=viui+1 pour 0≤i≤g−1. Soit donc A une variété abélienne sur K de dimension g et munie d’une polarisation principale L. Fixons P∈A(K)tors. Notons C l’ensemble des sous-variétés abéliennes C de A telles qu’il existe un entier naturel i avec dimC≤g−i, degLC≤ui et un entier non nul N≤vi avec NP∈C. Cet ensemble est non vide car A∈C puisque i=0 et N=1 conviennent ( degLA=g!). Considérons un élément C∈C minimal pour l’inclusion et i,N des entiers associés par définition de C. Si C≠0, on lui applique la conjecture 4.4 avec le point (de torsion) NP. Il existe donc un sous-groupe algébrique strict G de C, contenant NP et de degré degLG≤c1(dimC,degLC)≤c1(g−i,ui)=ui+1.Notons B=G0 la composante neutre. Nous avons dimB≤dimC−1≤g−i−1 et degLB≤ui+1. En outre NP∈G donc [G:B]NP∈B et [G:B]N≤NdegLG≤Nui+1≤vi+1. Nous en déduisons que B∈C mais ceci contredit la minimalité de C donc en réalité nous avons C=0. Par suite P est d’exposant au plus N≤vi≤vg. Comme ceci vaut pour tout élément de A(K)tors, ce groupe est de cardinal au plus vg2g. La conjecture T est donc acquise pour les variétés abéliennes admettant une polarisation principale. Nous concluons par l’astuce de Zarhin puisque CardA(K)tors≤(CardZ(A)(K)tors)1/4. □ Voici à présent notre dernière implication. Proposition 4.14 La conjecture4.4entraîne la conjecture1.5. Démonstration. Nous fixons un entier g≥1 et définissons une suite u0,…,u8g−1 de réels par u0=(8g)! et ui+1=c1(8g−i,ui) pour 0≤i≤8g−2. Posons également U=max(u0,…,u8g−1) et Δ=c1(8g,U). Nous supposons la conjecture 4.4 vérifiée donc, par le lemme précédent, il en va de même de la conjecture T. Nous notons alors N l’entier donné par le lemme 4.8 pour le couple (d,8g). Soient A une variété abélienne sur K de dimension g et L une polarisation sur A. Soit M une polarisation principale sur Z(A) telle que M∣A≃L comme dans le lemme 4.6. Désignons par A1,…,As les composantes isotypiques de A ordonnées de sorte que h1(A1) soit maximale. Soit Z1 la composante isotypique de Z(A) contenant A1. Notons encore C l’ensemble (fini) des sous-variétés abéliennes C de Z(A) telles que C∩Z1 est fini et degMC≤Δ puis Σ la somme de tous les éléments de C. Nous allons montrer que la conclusion de la conjecture 1.5 est satisfaite avec B la composante neutre de Σ∩A. Tout d’abord, nous avons bien B≠A : la condition C∩Z1 fini équivaut à dire que C est contenue dans la somme des autres composantes isotypiques de Z(A) ; cette condition est stable par somme donc Σ∩Z1 est fini et il en va ainsi de même de B∩A1. Ensuite, par dimension, Σ peut s’écrire comme la somme d’au plus 8g éléments de C donc la proposition 3.1 itérée implique (somme) h0(Σ,M)≤Δ8g puis (intersection) h0(B,L)≤Δ8gh0(A,L) d’où degLB≤Δ8gdegLA. Soit maintenant P∈A(K). Définissons D comme l’ensemble des sous-variétés abéliennes D de Z(A) contenant NP, d’intersection D∩Z1 infinie et telles qu’il existe un entier naturel i avec i+dimD≤8g et degMD≤ui. Cet ensemble est non vide car il contient Z(A) puisque degMZ(A)=(8g)!=u0. Considérons un élément D∈D minimal pour l’inclusion. Par définition, nous avons 1≤dimD≤8g et degMD≤U. Nous séparons deux cas. Supposons d’abord hM(NP)≥Δ−1h1(D). Nous employons alors trois fois la proposition 3.7. Dans Z(A), son assertion (2) montre h1(Z1)≤235(8g)21(log1d)2h1(D). Dans Z1, cette même assertion (2) fournit h1(A1)≤235(dimZ1)21(log1d)2h1(Z1). Enfin, dans A, l’assertion (1) nous donne h1(A)≤218g7(log1d)h1(A1). Nous en déduisons hL(P)≥(2214g49(log1d)5N2Δ)−1h1(A) qui correspond à la première partie de l’alternative de la conjecture 1.5. Passons au second cas. Ici hM(NP)<c1(dimD,degMD)−1h1(D) donc la conjecture 4.4 (pour D) montre qu’il existe un sous-groupe algébrique strict C de D, contenant NP et tel que degMC≤c1(dimD,degMD). Nous pouvons remplacer C par sa composante neutre (grâce à la propriété de l’entier N donné par le lemme 4.8) et donc supposer que C est une sous-variété abélienne. Si l’intersection C∩Z1 était infinie nous aurions en particulier dimD>dimC>0. Par définition de D, il existe i avec i+dimD≤8g et degMD≤ui. Ainsi nous aurions i≤8g−2 et degMC≤c1(8g−i,ui)=ui+1 donc C∈D (avec i+1+dimC≤8g). Ceci contredirait la minimalité de D. Nous en déduisons que C∩Z1 est fini puis, avec degMC≤c1(8g,U)=Δ, que C∈C. En particulier NP∈C⊂Σ donc NP∈Σ∩A. En utilisant à nouveau le lemme 4.8, nous trouvons NP∈B.□ Références 1 D. Bertrand , Minimal heights and polarizations on group varieties , Duke Math. J. 80 ( 1995 ), 223 – 250 . Google Scholar CrossRef Search ADS 2 D. Bertrand , Duality on tori and multiplicative dependence relations , J. Austral. Math. Soc. Ser. A 62 ( 1997 ), 198 – 216 . Google Scholar CrossRef Search ADS 3 N. Bruin , E. V. Flynn , J. González et V. Rotger , On finiteness conjectures for endomorphism algebras of abelian surfaces , Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 141 ( 2006 ), 383 – 408 . Google Scholar CrossRef Search ADS 4 G. Cornell et J. Silverman , Arithmetic Geometry (Storrs, Conn., 1984) , Springer-Verlag , New York , 1986 . Google Scholar CrossRef Search ADS 5 S. David , Fonctions thêta et points de torsion des variétés abéliennes , Compositio Math. 78 ( 1991 ), 121 – 160 . 6 S. David , Minorations de hauteurs sur les variétés abéliennes , Bull. Soc. Math. France 121 ( 1993 ), 509 – 544 . Google Scholar CrossRef Search ADS 7 O. Debarre , Polarisations sur les variétés abéliennes produits , C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 323 ( 1996 ), 631 – 635 . 8 É. Gaudron et G. Rémond , Théorème des périodes et degrés minimaux d’isogénies , Comment. Math. Helv. 89 ( 2014 ), 343 – 403 . Google Scholar CrossRef Search ADS 9 É. Gaudron et G. Rémond , Polarisations et isogénies , Duke Math. J. 163 ( 2014 ), 2057 – 2108 . Google Scholar CrossRef Search ADS 10 É. Gaudron et G. Rémond , Torsion des variétés abéliennes CM. Proc. Amer. Math. Soc. à paraître. 11 C. Liebendörfer et G. Rémond , Hauteurs de sous-espaces sur les corps non commutatifs , Math. Z. 255 ( 2007 ), 549 – 577 . Google Scholar CrossRef Search ADS 12 L. Merel , Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres , Invent. Math. 124 ( 1996 ), 437 – 449 . Google Scholar CrossRef Search ADS 13 B. Moonen et G. van der Geer , Abelian varieties. Livre en préparation, voir https://www.math.ru.nl/~bmoonen/research.html. 14 D. Mumford , Abelian Varieties , Oxford University Press , London , 1974 . 15 P. Parent , Bornes effectives pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres , J. Reine Angew. Math. 506 ( 1999 ), 85 – 116 . Google Scholar CrossRef Search ADS 16 F. Pazuki , Minoration de la hauteur de Néron-Tate sur les surfaces abéliennes , Manuscripta Math. 142 ( 2013 ), 61 – 99 . Google Scholar CrossRef Search ADS 17 I. Reiner , Maximal Orders, volume 28 de London Mathematical Society Monographs. New Series , The Clarendon Press Oxford University Press , Oxford , 2003 . 18 G. Rémond . Variétés abéliennes et ordres maximaux. Rev. Mat. Iberoam. à paraître. 19 A. Silverberg , Torsion points on abelian varieties of CM-type , Compositio Math. 68 ( 1988 ), 241 – 249 . 20 J. Silverman , Lower bounds for height functions , Duke Math. J. 51 ( 1984 ), 395 – 403 . Google Scholar CrossRef Search ADS 21 J. Silverman , The Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics Vol. 106 , Springer-Verlag , New York , 1986 . Google Scholar CrossRef Search ADS 22 J. Silverman , The difference between the Weil height and the canonical height on elliptic curves , Math. Comp. 55 ( 1990 ), 723 – 743 . Google Scholar CrossRef Search ADS 23 J. Tsimerman . A proof of the André-Oort conjecture for Ag. 2015 . arXiv:1506.01466. © 2017. Published by Oxford University Press. All rights reserved. For permissions, please email: journals.permissions@oup.com This article is published and distributed under the terms of the Oxford University Press, Standard Journals Publication Model (https://academic.oup.com/journals/pages/about_us/legal/notices)

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The Quarterly Journal of MathematicsOxford University Press

Published: Oct 24, 2017

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