Autour des plus grands facteurs premiers d’entiers consÉcutifs voisins d’un entier criblÉ

Autour des plus grands facteurs premiers d’entiers consÉcutifs voisins d’un entier criblÉ Abstract Denote by P+(n) (resp. P−(n)) the largest (resp. the smallest) prime factor of the integer n. In this paper, we prove that there exists a positive proportion of integers n having no small prime factor such that P+(n)<P+(n+2). Especially, we prove that the pattern P+(P3)<P+(P3+2) is realized by a positive proportion of P3 with P−(P3)>x1/3−δ,0<δ≤112, where P3 denote an integer having at most three prime factors taken with multiplicity. We also prove that the pattern P+(p−1)<P+(p+1) holds for a positive proportion of primes under the Elliott-Halberstam conjecture. 1. Introduction Ce travail est le 3ème volet notre série d’articles consacrés à l’étude des plus grands facteurs premiers d’entiers consécutifs (voir [28, 29] pour les deux premiers). Ce problème a été considéré initialement par Erdős [8]. Désignons par P+(n) le plus grand facteur premier d’un entier générique n≥1 avec la convention que P+(1)=1. De Koninck et Doyon [5] ont formulé la conjecture suivante. Hypothèse A (Conjecture de De Koninck et Doyon). Soit k≥2un entier fixé. Alors pour toute permutation (a1,a2,…,ak)de {0,1,…,k−1}, on a Prob[P+(n+a1)<P+(n+a2)<⋯<P+(n+ak)]=1k!,c’est - à - dire, 1x∑n≤xP+(n+a1)<P+(n+a2)<⋯<P+(n+ak)1→1k! (1.1)quand x→∞. Cette conjecture mêle les structures additive et multiplicative des entiers et a des applications dans divers arithmétiques. L’équivalence (1.1) semble extrêmement difficile à démontrer. Même dans le cas le plus simple, i.e. k=2, elle reste encore ouverte. Ce problème a l’attention de nombreux mathématiciens et a une histoire riche (voir [28] pour une description historique). Pour k=2, l’Hypothèse (A) devient: ∣{n≤x:P+(n)<P+(n+1)}∣∼12x (1.2) pour x→∞, conjecturée initialement par Erdős et Pomerance [9] en 1978. Ils ont démontré ∣{n≤x:P+(n)<P+(n+1)}∣>0,0099x pour x≥x0. La constante 0,0099 a été améliorée en 0,05544 par de la Bretéche et al. [7], en 0,05866 par Fouvry, en 0,1063 et 0,1356 par Wang [28, 29], respectivement. Récemment Teräväinen [27] a montré que la densité logarithmique de cet ensemble vaut 12. Pour trois entiers consécutifs, Erdős et Pomerance observent dans leur article [9] que les deux configurations P+(n−1)>P+(n)<P+(n+1) et P+(n−1)<P+(n)>P+(n+1) ont lieu pour une infinité d’entiers n. Par ailleurs, ils démontrent l’existence d’une infinité d’entiers n satisfaisant P+(n−1)<P+(n)<P+(n+1) en considérant des entiers n de la forme n=p2k0 avec k0 judicieusement choisi. Pour la quatrième configuration, en 2001 Balog [1] obtient la minoration suivante ∣{n≤x:P+(n−1)>P+(n)>P+(n+1)}∣≫x1/2 pour x→∞. Dans [29], nous avons réussi à faire un progrès significatif en montrant qu’il existe une proportion positive pour les deux configurations suivantes: ∣{n≤x:P+(n−1)>P+(n)<P+(n+1)}∣>1,063×10−7x (⁎) et ∣{n≤x:P+(n−1)<P+(n)>P+(n+1)}∣>8,84×10−4x (⁎⁎) pour x→∞. De plus, on obtient une majoration non triviale des quatre configurations mentionnées ci-dessus. Signalons que peu après la soumission de [29], Teräväinen [27] montre par une autre approche que les ensembles de (*) et (**) ont une densité inférieure positive. Dans cet article, nous nous intéressons à l’analogue de l’Hypothèse (A) pour les nombres premiers. En tenant compte de (1.2), il semble raisonnable de faire la conjecture: Pour x→∞, nous avons ∣{p≤x:P+(p−1)<P+(p+1)}∣∼12π(x), (1.3)où π(x)est le nombre des nombres premiers n’excédant pas x. Sans doute, une telle conjecture est très difficile à démontrer, puisque la conjecture des nombres premiers jumeaux est équivalente à ∣{p≤x:P+(p)<P+(p+2)}∣→∞ pour x→∞. Cette dernière reste encore ouverte, malgré les avancées spectaculaires de ces dernières années [13, 20, 30]. Une approche pour attaquer ce problème est de travailler sous des hypothèses raisonnables et établir ainsi des résultats conditionnels. L’hypothèse suivante est la conjecture d’Elliott-Halberstam sur la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques, une conjecture souvent utilisée en la théorie analytique des nombres. Hypothèse B (Conjecture d’Elliott-Halberstam). Pour tous A>0et ε>0, on a ∑q≤x1−εmaxy≤xmax(a,q)=1∣∑p≤yp≡a(modq)1−π(y)φ(q)∣≪A,εx(logx)A, (1.4)où φ(q)est la fonction d’Euler. On remarque que, dans l’article [14, Section 5.3], Granville a annoncé sans donner de démonstration que l’équivalent asymptotique ∣{p≤x:P+(p−a)≤y}∣∼ρ(u)π(x) (1.5) découle de la forme faible de la conjecture d’Elliott-Halberstam, où a est un entier, u=logx/logy est fixé et ρ(u) est la fonction de Dickman définie par (3.2) ci-dessous. On propose une preuve de ce résultat dans le Lemme 4.1 ci-dessous, qui est cruciale dans la preuve du Théorème 1. Pour (1.5), on peut aussi voir par exemple [2, 3, 8, 21, 22]. Notre premier résultat est le suivant. Théorème 1 Sous l’Hypothèse (B), on a ∣{p≤x:P+(p−1)<P+(p+1)}∣>0,1779π(x) (1.6)pour x→∞. Une autre manière d’approcher la conjecture (1.3) est d’étudier l’analogue de l’Hypothèse (A) pour les entiers criblés (c’est-à-dire, entiers sans petit facteur premier). Désignons par P−(n) le plus petit facteur premier de n≥1 avec la convention P−(1)=∞. Dans cette direction, nous avons le résultat suivant. Théorème 2 Soit 0<β<13. Alors pour x→∞, on a ∑n≤x,P−(n)>xβP+(n)<P+(n+2)1≥{C(β)+o(1)}π(x), (1.7)où C(β)est la constante strictement positive définie par la formule (5.10) ci-dessous. Désignons par Pr un entier ayant au plus r facteurs premiers. En prenant β=13−δ où 0<δ≤112 dans le Théorème 2, on obtient le résultat suivant. Corollaire 1 Soit 0<δ≤112. Alors pour x→∞, on a ∑P3≤x,P−(P3)>x1/3−δP+(P3)<P+(P3+2)1≥{C(1/3−δ)+o(1)}π(x). (1.8)En particulier, en prenant δ=112, i.e. P−(n)>n1/4, on a C(112)>0,0267. On remarque que on ne peut pas remplacer P3 par P2 dans le Corollaire 1 car C(β)=0 pour β≥13. En effet, dans la démonstration du Théorème 2, on compte les entiers n avec xβ<P−(n)≤P+(n)<xα où α<12 est un paramètre. Ce qui implique que n est d’une forme n=p avec p<xα ou n=p1p2 avec x1/3<p1≤p2<xα si on prend 13≤β<α<12. Ainsi la condition « α<12» entraîne que ces entiers sont inférieurs à x2α et que leur nombre est o(π(x)). Cette barrière en α découle du niveau « 12» du théorème de type Bombieri-Vinogradov (le Théorème 4 ci-dessous). Il est intéressant de comparer (1.8) avec le théorème bien connu de Chen concernant la conjecture des nombres premiers jumeaux [4]: ∑p≤xp+2=P21≥0,67∏p>2(1−1(p−2)2)x(logx)2 (1.9) pour x→∞. On peut également faire un lien avec un résultat de Goldston et al. [12]. Soit qn le n-ème entier ayant exactement deux facteurs premiers, alors liminfn→∞(qn+1−qn)≤6. (1.10) Bien que notre condition « P+(P3)<P+(P3+2)» soit plus faible que « p+2=P2» et « ayant exactement deux facteurs premiers» pour (1.9) et (1.10) respectivement, (1.8) fournit une minoration du bon ordre de grandeur contrairement à une utilisation triviale de [4, 12]. Notre méthode permet de traiter les plus grands facteurs premiers des J entiers consécutifs dont l’un est criblé en étendrant la condition « P+(n)<P+(n+2)» dans le Théorème 2 à « P+(n+j0)=min0≤j≤J−1P+(n+j)» pour J≥2. Théorème 3 Soient J≥2et 0<β<12(J−1)+1. Alors il existe une constante C(J,β)>0telle que l’on a pour tout j0∈{0,1,…,J−1} ∑n≤xP+(n+j0)=min0≤j≤J−1P+(n+j)P−(n+j0)>xβ1≥{C(J,β)+o(1)}π(x)pour x→∞. En particulier pour j0=0, on montre qu’il existe une infinité de nombres presque premiers (dans le sens « sans petit facteur premiers») tels que les J−1 entiers suivants aient également une structure proche de celle d’un nombres premiers puisqu’ils ont tous un grand facteur premier. Comme dans le cas J=2, nous pouvons comparer ce problème avec la conjecture des nombres premiers consécutifs. Désignons par pn le n-ème nombre premier. Dans [19], Maynard développe une approche différente encore plus efficace que [13, 20, 30] et il démontre que pour chaque entier m≥1 fixé on a liminfn→∞(pn+m−pn)≪m3e4m, où la constante implicite dans ≪ est absolue. En particulier, pour m=1, il peut obtenir 600 à la place de 7×107 de Zhang [30]. Nous démontrerons les Théorèmes 1–3 en reprenant les méthodes développées dans les deux premières parties [28, 29]. Le fait de travailler avec des entiers criblés amène de nouvelles difficultés. On a besoin entre autre d’un théorème de type Bombieri-Vinogradov pour des entiers dont les facteurs premiers sont dans un intervalle donné. Remerciements Ce travail a été réalisé sous la direction de mes directeurs de thèse Cécile Dartyge et Jie Wu. Je les remercie vivement pour les nombreuses suggestions cruciales qu’ils ont proposées dans l’élaboration de ce travail. De plus, je souhaite adresser mon extrême gratitude au rapporteur anonyme pour sa relecture attentive et pour ses remarques qui ont permis d’améliorer ce manuscrit. 2. Un théorème de type Bombieri-Vinogradov Pour x≥y≥z≥1, on définit S(x;y,z)≔{n≤x:z<P−(n)≤P+(n)≤y}, (2.1) l’ensemble des entiers inférieurs à x dont tous les facteurs premiers sont dans l’intervalle ]z,y]. Le but de ce paragraphe est d’établir un théorème de type Bombieri-Vinogradov sur S(x;y,z), qui jouera un rôle clé dans la démonstration des Théorèmes 2 et 3. Sans doute, un tel résultat a un intérêt intrinsèque et trouvera d’autres applications. Théorème 4 Pour tout A>0, il existe une constante B=B(A)>0telle que l’on ait ∑q≤x1/2/(logx)Bmaxt≤xmax(a,q)=1∣∑n∈S(t;y,z)n≡a(modq)1−1φ(q)∑n∈S(t;y,z)(n,q)=11∣≪Ax(logx)A (2.2)uniformément pour 2≤z≤y≤x, où φ(q)est la fonction d’Euler. Démonstration. La démonstration du Théorème 4 est très proche de celle du Théorème 6′ de [10]. Il suffit de remplacer la condition (7.4) de [10] suivante n=mp,P+(m)≤p≤y par n=mp,z<P−(m)≤P+(m)≤p≤y. On ne donne pas plus de détails.□ 3. Quelques lemmes auxiliaires Dans cette partie on rappelle quelques lemmes qui serviront dans les démonstrations des Théorèmes 1–3. 3.1. Crible linéaire Soient A une suite finie d’entiers,  un ensemble de nombres premiers, z≥2 un nombre réel, d un entier sans facteur carré dont les facteurs premiers appartiennent à . Notons Ad≔{a∈A:d∣a},P(z)≔∏p<z,p∈p. On souhaite évaluer S(A;,z)≔∣{a∈A:(a,P(z))=1}∣. On suppose que ∣Ad∣ vérifie une formule de la forme ∣Ad∣=w(d)dX+r(A,d)pourd∣P(z), où X est une approximation de ∣A∣ indépendante de d, w une fonction multiplicative vérifiant 0<w(p)<p pour p∈, w(d)d−1X un terme principal et r(A,d) un terme d’erreur que l’on espère petit en moyenne sur d. De plus, on définit V(z)≔∏p<z,p∈(1−w(p)p). Nous pouvons maintenant énoncer la majoration donnée par le crible de Rosser-Iwaniec [16]. Lemme 3.1 On suppose qu’il existe une constante K≥2telle que ∏u≤p<v(1−w(p)p)−1≤logvlogu(1+Klogu)pour tout v>u≥2. Alors pour tout D≥z≥2, on a S(A;,z)≤XV(z){F(s)+O(1logx3)}+∑d<D,d∣P(z)∣r(A,d)∣,où s≔logD/logz, F(s)=2eγs−1(0<s≤3)et γest la constante d’Euler. 3.2. Entiers friables, entiers criblés et nombres sans petits ni grands facteurs premiers Pour x≥y>1, on définit S(x,y)≔{n≤x:P+(n)≤y},Ψ(x,y)≔∣S(x,y)∣. (3.1) Alors on a le résultat suivant, dû à Hildebrand [15, Theorem 1]. Lemme 3.2 Soit ε>0. Alors on a Ψ(x,y)=xρ(u){1+Oε(log(u+1)logy)}uniformément pour (Hε) x≥x0(ε),exp{(loglogx)5/3+ε}≤y≤x,où u≔(logx)/logyet ρ(u)est la fonction de Dickman, définie comme l’unique solution continue de l’équation différentielle aux différences {ρ(u)=1si0≤u≤1,uρ′(u)=−ρ(u−1)siu>1. (3.2) Pour x≥y≥2, on définit Φ(x,y)≔∣{n≤x:P−(n)>y}∣. (3.3) Alors le nombre d’entiers criblés Φ(x,y) est estimé par le lemme suivant. Lemme 3.3 ([26, Chapitre III.6]). Pour x≥y≥2, on a uniformément Φ(x,y)=ω(u)x−ylogy+O(x(logy)2),où u≔(logx)/logyet ω(u)est la fonction de Buchstab définie comme l’unique solution continue de l’équation différentielle aux différences {uω(u)=1si1≤u≤2,(uω(u))′=ω(u−1)siu>2.De plus, nous prolongeons ω(u)par 0 pour u<1. Rappelons que S(x;y,z) est l’ensemble défini par (2.1). Désignons par Θ(x;y,z) son cardinal: Θ(x;y,z)≔∣S(x;y,z)∣. Soit σ(u,v) l’unique solution continue pour u>1 de l’équation u∂σ∂u(u,v)+σ(u−1,v−v/u)=0(u>v/(v−1),v>1) (3.4) avec les conditions initiales σ(u,v)=ω(v)(0≤u<1),σ(u,v)=ω(v)−1/v(1<u≤v/(v−1)). En 1976, Friedlander [11] a montré le résultat suivant. Lemme 3.4 Pour x≥y≥z>1, on définit u=logxlogyetv=logxlogz·Alors pour tout ε>0, on a Θ(x;y,z)=σ(u,v)xlogz+Oε(x(logz)2)pour (Fε) 1+ε≤u≤v≤ε−1. La fonction σ(u,v) est continue sur (Fε) et positive strictement excepté σ(u,v)=0 pour k<u≤v≤k+1 où k≥1 est tout entier. On trouvera dans [23–25] d’autres résultats sur Θ(x;y,z). 3.3. Valeurs moyennes criblées de certaines fonctions arithmétiques Dans [18], Lachand et Tenenbaum étudient les valeurs moyennes de certaines fonctions arithmétiques sur les entiers criblés. Le lemme suivant est un cas particulier de leur résultat. Lemme 3.5 Soient μ(n)la fonction de möbius et u=logx/logy. Pour tout ε>0, nous avons ∑n≤xP−(n)>yμ(n)n={1+O(log(u+1)logy)}ρ(u)+O(exp{−(logy)3/5−ε}) (3.5)uniformément pour x≥2,exp{(logx)2/5+ε}≤y≤x. Le Lemme 3.5 a été amélioré par La Bretèche et Fiorilli [6], en enlevant le terme d’erreur O(log(u+1)/logy) dans (3.5). 4. Démonstration du Théorème 1 4.1. Lemme pour le nombre de premiers translatés friables Pour démontrer le Théorème 1, on va tout d’abord établir le Lemme 4.1 ci-dessous pour le nombre de premiers translatés friables. La preuve du Lemme 4.1 suit la méthode de Lachand [17] sur n(n2+1) friable. Lemme 4.1 Soit aun entier. Pour x≥y>1, on définit π(x,y)≔∑p≤x,P+(p−a)≤y1etu≔logxlogy· (4.1)Alors pour tout u≥1fixé et x→∞, on a sous la conjecture d’Elliott-Halberstam π(x,y)∼ρ(u)π(x), (4.2)où ρ(u)est la fonction de Dickman définie comme dans (3.2) ci-dessus. Démonstration. On a d’abord par la formule d’inversion de Möbius ∑p≤x,P+(p−a)≤y1=∑p≤x,(p−a,∏y<p′≤xp′)=11=∑q≤x−aP−(q)>yμ(q)∑p≤xp≡a(modq)1=S1+S2, (4.3) où S1≔∑q≤x1−εP−(q)>yμ(q)∑p≤xp≡a(modq)1,S2≔∑x1−ε≤q≤x−aP−(q)>yμ(q)∑p≤xp≡a(modq)1. 1. Évaluation de S1 Pour S1, on écrit S1=S1′+S1″ (4.4) où S1′≔∑q≤x1−εP−(q)>yμ(q)π(x)φ(q)etS1″≔∑q≤x1−εP−(q)>yμ(q)(∑p≤xp≡a(modq)1−π(x)φ(q)). D’après l’Hypothèse (B), i.e. la conjecture d’Elliott-Halberstam, il suit S1″≪∑q≤x1−εmax(a,q)=1∣∑p≤xp≡a(modq)1−π(x)φ(q)∣≪x(logx)A (4.5) pour tout A, qui est admissible. Pour le terme principal S1′, on obtient en utilisant le Lemme 3.5 S1′=π(x)∑q≤x1−ε,P−(q)>yμ(q)q{1+O(1y)}=π(x)ρ(logx1−εlogy){1+o(1)}=π(x)ρ(u){1+o(1)+O(ε)} (4.6) pour x→∞ et 1≤u≪1. En reportant (4.6) et (4.5) dans (4.4), on obtient S1=π(x)ρ(u){1+o(1)+O(ε)} (4.7) sous la condition que x→∞ et 1≤u≪1. 2. Évaluation de S2 Pour évaluer S2, on écrit d’abord ∣S2∣≤∑x1−ε≤q≤x−aP−(q)>y∑p≤xp≡a(modq)1. On note que la dernière double somme compte les nombres premiers p tels que p−a=mq avec x1−ε≤q≤x−a, P−(q)>y et (m,a)=1, m≤xε. Pour chaque entier m≤xε et a, on pose A(m;a)≔{(p−a)/m:p≤xetp≡a(modm)},am≔{p:ppremier tel quep∤am},Pam(z)≔∏p<z,p∈amp=∏p<z,p∤amp. Alors ∣S2∣≤∑m≤xε(m,a)=1∣{q∈A(m;a):P−(q)>y}∣≤∑m≤xε(m,a)=1S(A(m;a);am,z). Pour tout z≤y. On va appliquer le Lemme 3.1 (le crible de Rosser-Iwaniec) pour majorer les cardinaux des ensembles criblés S(A(m;a);am,z). Pour tout d∣Pam(z), on a (d,m)=1 et ∣Ad(m;a)∣=∣{(p−a)/m:p≤xetp≡a(moddm)}∣=1φ(d)·π(x)φ(m)+(∑p≤xp≡a(moddm)1−π(x)φ(dm)). (4.8) Ainsi on peut utiliser le Lemme 3.1 avec D=z=y1−2ε et X=π(x)φ(m),r(A(m;a),d)=(∑p≤xp≡a(moddm)1−π(x)φ(dm)) et w(p)={0p∣am,pp−1p∤am. On obtient ∣S2∣≤S2′+S2″, (4.9) où S2′≔∑m≤xε(m,a)=1π(x)φ(m)∏p<zp∤am(1−1p−1){F(1)+o(1)},S2″≔∑m≤xε(m,a)=1∑d<Dd∣Pam(z)∣r(A(m;a),d)∣. Pour S2″, compte tenu de la condition d<D=y1−2ε≤x1−2ε, on a par l’inégalité de Cauchy-Schwarz S2″≤∑q≤x1−ετ(q)∣∑p≤xp≡a(modq)1−π(x)φ(q)∣≤(S2,*″S2,†″)1/2, où τ(q) est la fonction diviseur et S2,*″≔∑q≤x1−ετ2(q)∣∑p≤xp≡a(modq)1−π(x)φ(q)∣,S2,†″≔∑q≤x1−ε∣∑p≤xp≡a(modq)1−π(x)φ(q)∣. Pour S2,*″, on utilise l’estimation triviale: ∑p≤xp≡a(modq)1−π(x)φ(q)≪xq, et pour S2,†″ on applique l’Hypothèse (B). Cela donne pour tout A S2″≪(x(logx)A)1/2{x∑q≤x1−ετ(q)2q}1/2≪x(logx)A/2−4· (4.10) Pour S2′, en tenant compte de la condition m≤xε≤y1−2ε=z pour tout ε>0 arbitrairement petit, on a S2′≪a∑m≤xεπ(x)φ(m)∏p<z(1−1p−1)∏p∣m(1−1p−1)−1≪a∑m≤xεπ(x)m∏p<z(1−1p)∏p∣m(1−1p−1)−1(1−1p)−1. En utilisant la formule de Mertens, on obtient S2′≪aπ(x)logz∑m≤xε1m∏p∣m(1+2p)≪aπ(x)logz∏p≤xε(1+1+2pp)≪aπ(x)logz∏p≤xε(1+1p)≪a,uεπ(x). (4.11) La combinaison des formules (4.10), (4.11) et (4.9) entraîne la majoration ∣S2∣≤{Oa,u(ε)+oa(1)}π(x). (4.12) En reportant (4.7) et (4.12) dans (4.3), on trouve finalement ∑p≤x,P+(p−a)≤y1=π(x)ρ(u){1+oa(1)+Oa,u(ε)} pour x→∞,1≤u≪1. Ce qui implique le Lemme 4.1.□ 4.2. Démonstration du Théorème 1 1. Point de départ Pour un paramètre θ vérifiant ε0≤θ<12, où ε0 est une petite constante fixée, on a l’inégalité ∑p≤xP+(p−1)<P+(p+1)1≥∑p≤xP+(p−1)≤x1/2−ε1−∑p≤xP+(p+1)≤P+(p−1)≤x1/2−ε1≥∑p≤xP+(p−1)≤x1/2−ε1−(∑p≤xxθ<P+(p+1)≤P+(p−1)≤x1/2−ε1+∑p≤xP+(p+1)≤xθ1)=SA−(SB+SC). (4.13) 2. Évaluation de SA−SC A l’aide du Lemme 4.1, on a SA−SC∼{ρ(2)−ρ(1/θ)}π(x)(x→∞). (4.14) 3. Majoration de SB Au premier abord, si (P+(p−1),P+(p+1))>1, alors il existe deux entiers k2≥k1≥0 tels que p−1=2k1,p+1=2k2, compte tenu du fait que (p−1,p+1)=(p−1,2)=2. Ce qui implique que p=3. On peut donc supposer que (P+(p−1),P+(p+1))=1 dans la suite. Pour SB, en posant p1=P+(p−1) et p2=P+(p+1), on a dans un premier temps p≡1(modp1)etp≡−1(modp2). D’après le théorème des restes chinois, il existe un entier a(p1,p2)<p1p2 dépendant de p1,p2 tel que (a(p1,p2),p1p2)=1etp≡a(p1,p2)(modp1p2). Pour des commodités d’écriture, on écrit a=a(p1,p2) dans la suite. Alors on peut majorer la somme SB par SB=∑p≤xp1=P+(p−1),p2=P+(p+1)xθ<p2≤p1≤x1/2−ε1≤∑p2∑p1xθ<p2<p1≤x1/2−ε∑p≤xp≡a(modp1p2)1+O(1)=SB1+SB2+O(1), (4.15) où SB1≔∑p2∑p1xθ<p2<p1≤x1/2−επ(x)φ(p1p2),SB2≔∑p2∑p1xθ<p2<p1≤x1/2−ε(∑p≤xp≡a(modp1p2)1−π(x)φ(p1p2)). Pour le terme d’erreur SB2, de manière analogue à S2″ dans (4.10), on obtient en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, la conjecture d’Elliott-Halberstam et l’inégalité de Brun-Titchmarsh SB2≪∑q≤x1−ετ(q)∣∑p≤xp≡a(modq)1−π(x)φ(q)∣≪x(logx)A (4.16) pour tout A. Pour le terme principal SB1, on a SB1={∑xθ<p2≤x1/2−ε1p2∑p2<p1≤x1/2−ε1p1+o(1)}π(x)={∑xθ<p2≤x1/2−ε1p2loglogx1/2−εlogp2+o(1)}π(x)={∫xθx1/2−εloglogx1/2−εlogtd∑p2≤t1p2+o(1)}π(x)={∫θ1/2log(12t)dtt+o(1)}π(x)={12(log12θ)2+o(1)}π(x) (4.17) où l’on a appliqué le théorème des nombres premiers, une intégration par parties et la formule suivante ∑p≤x1p=log2x+c1+O(1logx) avec c1≈0,261497 la constante de Meissel-Mertens. En combinant les estimations (4.17), (4.16) et (4.15), il suit SB={12(log12θ)2+o(1)}π(x). (4.18) En reportant (4.14) et (4.18) dans (4.13), on en déduit finalement ∑p≤xP+(p−1)<P+(p+1)1≥{f(θ)+o(1)}π(x) où f(θ)≔ρ(2)−ρ(1θ)−12(log12θ)2(ε0≤θ<1/2). Si on impose la condition θ≥13, on a f(θ)=log12θ−12(log12θ)2−∫11/θ−1logtt+1dt. Á l’aide de Mathematica 9.0, on peut calculer f(θ˜)=max13≤θ<12f(θ)>0,1779 avec θ˜≈12,9. Cela achève la démonstration du Théorème 1. 5. Démonstration du Théorèmes 2 et 3 Nous donnerons seulement une démonstration du Théorème 2 puisque celle du Théorème 3 se fait quasiment de la même manière (voir [29]). Soient 0<β<13,β<α<12 (5.1) et y=xα, z=xβ. Alors ∑n≤xP+(n)<P+(n+2)P−(n)>z1≥∑n∈S(x;y,z)(n+2,P(x,y))>11, (5.2) où S(x;y,z) est définie par (2.1) et P(x,y) est définie par P(x,y)≔∏y<p≤xp. Pour n≤x et y<x, on a ω(n;x,y)≔∑y<p≤xp∣n1≤logxlogy, (5.3) d’où (logxlogy)−1ω(n;x,y){≤1si(n,P(x,y))>1,=0sinon. (5.4) Ainsi on peut détecter les conditions (n+2,P(x,y))>1 dans la formule (5.2) par (5.4): ∑n≤x,P−(n)>zP+(n)<P+(n+2)1≥∑n∈S(x;y,z)ω(n+2;x,y)(logxlogy)≥α∑n∈S(x;y,z)ω(n+2;x1/2/(logx)B,xα)=α∑n∈S(x;y,z)∑p∣n+2xα<p≤x1/2/(logx)B1=α∑xα<p≤x1/2/(logx)B∑n∈S(x;y,z)n≡−2(modp)1=α(S1+S2) (5.5) avec S1≔∑xα<p≤x1/2/(logx)B1φ(p)∑n∈S(x;y,z)(n,p)=11,S2≔∑xα<p≤x1/2/(logx)B(∑n∈S(x;y,z)n≡−2(modp)1−1φ(p)∑n∈S(x;y,z)(n,p)=11), où B est une constante convenable. Pour S2, en utilisant le Théorème 4 on obtient S2≪∑q≤x1/2/(logx)B∣∑n∈S(x;y,z)n≡−2(modq)1−1φ(p)∑n∈S(x;y,z)(n,q)=11∣≪x(logx)A· (5.6) Pour S1, on peut retirer la condition (n,p)=1 compte tenu de p>xα et P+(n)≤xα si n∈S(x;xα,xβ). On évalue ensuite S1 à l’aide du Lemme 3.4 sur Θ(x;y,z) S1=∑xα<p≤x1/2/(logx)BΘ(x;xα,xβ)φ(p)=σ(1/α,1/β)xlogxβ∑xα<p≤x1/2/(logx)B1p{1+o(1)}={σ(1/α,1/β)βlog(12α)+o(1)}xlogx. (5.7) En reportant (5.7) et (5.6) dans (5.5), on déduit que ∑n≤x,P−(n)>xβP+(n)<P+(n+2)1≥{g(α,β)+oα,β(1)}xlogx (5.8) où g(α,β)≔σ(1α,1β)αβlog(12α) (5.9) pour α et β vérifiant (5.1). Pour ces α et β, la fonction g(α,β) est strictement positive et continue. De plus, on a limα→12g(α,β)=0,limα→βg(α,β)=0. Ainsi pour tout 0<β<13 fixé il existe un α0=α0(β)∈]β,12[ tel que C(β)≔g(α0,β)=maxβ<α<12g(α,β)>0. (5.10) En particulier, on a C(14)≥g(13,14)>0,0267 en prenant α=13, β=14. La preuve du Théorème 2 est complète. References 1 A. Balog , On triplets with descending largest prime factors , Studia Sci. Math. 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Autour des plus grands facteurs premiers d’entiers consÉcutifs voisins d’un entier criblÉ

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ISSN
0033-5606
eISSN
1464-3847
D.O.I.
10.1093/qmath/hay010
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Abstract

Abstract Denote by P+(n) (resp. P−(n)) the largest (resp. the smallest) prime factor of the integer n. In this paper, we prove that there exists a positive proportion of integers n having no small prime factor such that P+(n)<P+(n+2). Especially, we prove that the pattern P+(P3)<P+(P3+2) is realized by a positive proportion of P3 with P−(P3)>x1/3−δ,0<δ≤112, where P3 denote an integer having at most three prime factors taken with multiplicity. We also prove that the pattern P+(p−1)<P+(p+1) holds for a positive proportion of primes under the Elliott-Halberstam conjecture. 1. Introduction Ce travail est le 3ème volet notre série d’articles consacrés à l’étude des plus grands facteurs premiers d’entiers consécutifs (voir [28, 29] pour les deux premiers). Ce problème a été considéré initialement par Erdős [8]. Désignons par P+(n) le plus grand facteur premier d’un entier générique n≥1 avec la convention que P+(1)=1. De Koninck et Doyon [5] ont formulé la conjecture suivante. Hypothèse A (Conjecture de De Koninck et Doyon). Soit k≥2un entier fixé. Alors pour toute permutation (a1,a2,…,ak)de {0,1,…,k−1}, on a Prob[P+(n+a1)<P+(n+a2)<⋯<P+(n+ak)]=1k!,c’est - à - dire, 1x∑n≤xP+(n+a1)<P+(n+a2)<⋯<P+(n+ak)1→1k! (1.1)quand x→∞. Cette conjecture mêle les structures additive et multiplicative des entiers et a des applications dans divers arithmétiques. L’équivalence (1.1) semble extrêmement difficile à démontrer. Même dans le cas le plus simple, i.e. k=2, elle reste encore ouverte. Ce problème a l’attention de nombreux mathématiciens et a une histoire riche (voir [28] pour une description historique). Pour k=2, l’Hypothèse (A) devient: ∣{n≤x:P+(n)<P+(n+1)}∣∼12x (1.2) pour x→∞, conjecturée initialement par Erdős et Pomerance [9] en 1978. Ils ont démontré ∣{n≤x:P+(n)<P+(n+1)}∣>0,0099x pour x≥x0. La constante 0,0099 a été améliorée en 0,05544 par de la Bretéche et al. [7], en 0,05866 par Fouvry, en 0,1063 et 0,1356 par Wang [28, 29], respectivement. Récemment Teräväinen [27] a montré que la densité logarithmique de cet ensemble vaut 12. Pour trois entiers consécutifs, Erdős et Pomerance observent dans leur article [9] que les deux configurations P+(n−1)>P+(n)<P+(n+1) et P+(n−1)<P+(n)>P+(n+1) ont lieu pour une infinité d’entiers n. Par ailleurs, ils démontrent l’existence d’une infinité d’entiers n satisfaisant P+(n−1)<P+(n)<P+(n+1) en considérant des entiers n de la forme n=p2k0 avec k0 judicieusement choisi. Pour la quatrième configuration, en 2001 Balog [1] obtient la minoration suivante ∣{n≤x:P+(n−1)>P+(n)>P+(n+1)}∣≫x1/2 pour x→∞. Dans [29], nous avons réussi à faire un progrès significatif en montrant qu’il existe une proportion positive pour les deux configurations suivantes: ∣{n≤x:P+(n−1)>P+(n)<P+(n+1)}∣>1,063×10−7x (⁎) et ∣{n≤x:P+(n−1)<P+(n)>P+(n+1)}∣>8,84×10−4x (⁎⁎) pour x→∞. De plus, on obtient une majoration non triviale des quatre configurations mentionnées ci-dessus. Signalons que peu après la soumission de [29], Teräväinen [27] montre par une autre approche que les ensembles de (*) et (**) ont une densité inférieure positive. Dans cet article, nous nous intéressons à l’analogue de l’Hypothèse (A) pour les nombres premiers. En tenant compte de (1.2), il semble raisonnable de faire la conjecture: Pour x→∞, nous avons ∣{p≤x:P+(p−1)<P+(p+1)}∣∼12π(x), (1.3)où π(x)est le nombre des nombres premiers n’excédant pas x. Sans doute, une telle conjecture est très difficile à démontrer, puisque la conjecture des nombres premiers jumeaux est équivalente à ∣{p≤x:P+(p)<P+(p+2)}∣→∞ pour x→∞. Cette dernière reste encore ouverte, malgré les avancées spectaculaires de ces dernières années [13, 20, 30]. Une approche pour attaquer ce problème est de travailler sous des hypothèses raisonnables et établir ainsi des résultats conditionnels. L’hypothèse suivante est la conjecture d’Elliott-Halberstam sur la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques, une conjecture souvent utilisée en la théorie analytique des nombres. Hypothèse B (Conjecture d’Elliott-Halberstam). Pour tous A>0et ε>0, on a ∑q≤x1−εmaxy≤xmax(a,q)=1∣∑p≤yp≡a(modq)1−π(y)φ(q)∣≪A,εx(logx)A, (1.4)où φ(q)est la fonction d’Euler. On remarque que, dans l’article [14, Section 5.3], Granville a annoncé sans donner de démonstration que l’équivalent asymptotique ∣{p≤x:P+(p−a)≤y}∣∼ρ(u)π(x) (1.5) découle de la forme faible de la conjecture d’Elliott-Halberstam, où a est un entier, u=logx/logy est fixé et ρ(u) est la fonction de Dickman définie par (3.2) ci-dessous. On propose une preuve de ce résultat dans le Lemme 4.1 ci-dessous, qui est cruciale dans la preuve du Théorème 1. Pour (1.5), on peut aussi voir par exemple [2, 3, 8, 21, 22]. Notre premier résultat est le suivant. Théorème 1 Sous l’Hypothèse (B), on a ∣{p≤x:P+(p−1)<P+(p+1)}∣>0,1779π(x) (1.6)pour x→∞. Une autre manière d’approcher la conjecture (1.3) est d’étudier l’analogue de l’Hypothèse (A) pour les entiers criblés (c’est-à-dire, entiers sans petit facteur premier). Désignons par P−(n) le plus petit facteur premier de n≥1 avec la convention P−(1)=∞. Dans cette direction, nous avons le résultat suivant. Théorème 2 Soit 0<β<13. Alors pour x→∞, on a ∑n≤x,P−(n)>xβP+(n)<P+(n+2)1≥{C(β)+o(1)}π(x), (1.7)où C(β)est la constante strictement positive définie par la formule (5.10) ci-dessous. Désignons par Pr un entier ayant au plus r facteurs premiers. En prenant β=13−δ où 0<δ≤112 dans le Théorème 2, on obtient le résultat suivant. Corollaire 1 Soit 0<δ≤112. Alors pour x→∞, on a ∑P3≤x,P−(P3)>x1/3−δP+(P3)<P+(P3+2)1≥{C(1/3−δ)+o(1)}π(x). (1.8)En particulier, en prenant δ=112, i.e. P−(n)>n1/4, on a C(112)>0,0267. On remarque que on ne peut pas remplacer P3 par P2 dans le Corollaire 1 car C(β)=0 pour β≥13. En effet, dans la démonstration du Théorème 2, on compte les entiers n avec xβ<P−(n)≤P+(n)<xα où α<12 est un paramètre. Ce qui implique que n est d’une forme n=p avec p<xα ou n=p1p2 avec x1/3<p1≤p2<xα si on prend 13≤β<α<12. Ainsi la condition « α<12» entraîne que ces entiers sont inférieurs à x2α et que leur nombre est o(π(x)). Cette barrière en α découle du niveau « 12» du théorème de type Bombieri-Vinogradov (le Théorème 4 ci-dessous). Il est intéressant de comparer (1.8) avec le théorème bien connu de Chen concernant la conjecture des nombres premiers jumeaux [4]: ∑p≤xp+2=P21≥0,67∏p>2(1−1(p−2)2)x(logx)2 (1.9) pour x→∞. On peut également faire un lien avec un résultat de Goldston et al. [12]. Soit qn le n-ème entier ayant exactement deux facteurs premiers, alors liminfn→∞(qn+1−qn)≤6. (1.10) Bien que notre condition « P+(P3)<P+(P3+2)» soit plus faible que « p+2=P2» et « ayant exactement deux facteurs premiers» pour (1.9) et (1.10) respectivement, (1.8) fournit une minoration du bon ordre de grandeur contrairement à une utilisation triviale de [4, 12]. Notre méthode permet de traiter les plus grands facteurs premiers des J entiers consécutifs dont l’un est criblé en étendrant la condition « P+(n)<P+(n+2)» dans le Théorème 2 à « P+(n+j0)=min0≤j≤J−1P+(n+j)» pour J≥2. Théorème 3 Soient J≥2et 0<β<12(J−1)+1. Alors il existe une constante C(J,β)>0telle que l’on a pour tout j0∈{0,1,…,J−1} ∑n≤xP+(n+j0)=min0≤j≤J−1P+(n+j)P−(n+j0)>xβ1≥{C(J,β)+o(1)}π(x)pour x→∞. En particulier pour j0=0, on montre qu’il existe une infinité de nombres presque premiers (dans le sens « sans petit facteur premiers») tels que les J−1 entiers suivants aient également une structure proche de celle d’un nombres premiers puisqu’ils ont tous un grand facteur premier. Comme dans le cas J=2, nous pouvons comparer ce problème avec la conjecture des nombres premiers consécutifs. Désignons par pn le n-ème nombre premier. Dans [19], Maynard développe une approche différente encore plus efficace que [13, 20, 30] et il démontre que pour chaque entier m≥1 fixé on a liminfn→∞(pn+m−pn)≪m3e4m, où la constante implicite dans ≪ est absolue. En particulier, pour m=1, il peut obtenir 600 à la place de 7×107 de Zhang [30]. Nous démontrerons les Théorèmes 1–3 en reprenant les méthodes développées dans les deux premières parties [28, 29]. Le fait de travailler avec des entiers criblés amène de nouvelles difficultés. On a besoin entre autre d’un théorème de type Bombieri-Vinogradov pour des entiers dont les facteurs premiers sont dans un intervalle donné. Remerciements Ce travail a été réalisé sous la direction de mes directeurs de thèse Cécile Dartyge et Jie Wu. Je les remercie vivement pour les nombreuses suggestions cruciales qu’ils ont proposées dans l’élaboration de ce travail. De plus, je souhaite adresser mon extrême gratitude au rapporteur anonyme pour sa relecture attentive et pour ses remarques qui ont permis d’améliorer ce manuscrit. 2. Un théorème de type Bombieri-Vinogradov Pour x≥y≥z≥1, on définit S(x;y,z)≔{n≤x:z<P−(n)≤P+(n)≤y}, (2.1) l’ensemble des entiers inférieurs à x dont tous les facteurs premiers sont dans l’intervalle ]z,y]. Le but de ce paragraphe est d’établir un théorème de type Bombieri-Vinogradov sur S(x;y,z), qui jouera un rôle clé dans la démonstration des Théorèmes 2 et 3. Sans doute, un tel résultat a un intérêt intrinsèque et trouvera d’autres applications. Théorème 4 Pour tout A>0, il existe une constante B=B(A)>0telle que l’on ait ∑q≤x1/2/(logx)Bmaxt≤xmax(a,q)=1∣∑n∈S(t;y,z)n≡a(modq)1−1φ(q)∑n∈S(t;y,z)(n,q)=11∣≪Ax(logx)A (2.2)uniformément pour 2≤z≤y≤x, où φ(q)est la fonction d’Euler. Démonstration. La démonstration du Théorème 4 est très proche de celle du Théorème 6′ de [10]. Il suffit de remplacer la condition (7.4) de [10] suivante n=mp,P+(m)≤p≤y par n=mp,z<P−(m)≤P+(m)≤p≤y. On ne donne pas plus de détails.□ 3. Quelques lemmes auxiliaires Dans cette partie on rappelle quelques lemmes qui serviront dans les démonstrations des Théorèmes 1–3. 3.1. Crible linéaire Soient A une suite finie d’entiers,  un ensemble de nombres premiers, z≥2 un nombre réel, d un entier sans facteur carré dont les facteurs premiers appartiennent à . Notons Ad≔{a∈A:d∣a},P(z)≔∏p<z,p∈p. On souhaite évaluer S(A;,z)≔∣{a∈A:(a,P(z))=1}∣. On suppose que ∣Ad∣ vérifie une formule de la forme ∣Ad∣=w(d)dX+r(A,d)pourd∣P(z), où X est une approximation de ∣A∣ indépendante de d, w une fonction multiplicative vérifiant 0<w(p)<p pour p∈, w(d)d−1X un terme principal et r(A,d) un terme d’erreur que l’on espère petit en moyenne sur d. De plus, on définit V(z)≔∏p<z,p∈(1−w(p)p). Nous pouvons maintenant énoncer la majoration donnée par le crible de Rosser-Iwaniec [16]. Lemme 3.1 On suppose qu’il existe une constante K≥2telle que ∏u≤p<v(1−w(p)p)−1≤logvlogu(1+Klogu)pour tout v>u≥2. Alors pour tout D≥z≥2, on a S(A;,z)≤XV(z){F(s)+O(1logx3)}+∑d<D,d∣P(z)∣r(A,d)∣,où s≔logD/logz, F(s)=2eγs−1(0<s≤3)et γest la constante d’Euler. 3.2. Entiers friables, entiers criblés et nombres sans petits ni grands facteurs premiers Pour x≥y>1, on définit S(x,y)≔{n≤x:P+(n)≤y},Ψ(x,y)≔∣S(x,y)∣. (3.1) Alors on a le résultat suivant, dû à Hildebrand [15, Theorem 1]. Lemme 3.2 Soit ε>0. Alors on a Ψ(x,y)=xρ(u){1+Oε(log(u+1)logy)}uniformément pour (Hε) x≥x0(ε),exp{(loglogx)5/3+ε}≤y≤x,où u≔(logx)/logyet ρ(u)est la fonction de Dickman, définie comme l’unique solution continue de l’équation différentielle aux différences {ρ(u)=1si0≤u≤1,uρ′(u)=−ρ(u−1)siu>1. (3.2) Pour x≥y≥2, on définit Φ(x,y)≔∣{n≤x:P−(n)>y}∣. (3.3) Alors le nombre d’entiers criblés Φ(x,y) est estimé par le lemme suivant. Lemme 3.3 ([26, Chapitre III.6]). Pour x≥y≥2, on a uniformément Φ(x,y)=ω(u)x−ylogy+O(x(logy)2),où u≔(logx)/logyet ω(u)est la fonction de Buchstab définie comme l’unique solution continue de l’équation différentielle aux différences {uω(u)=1si1≤u≤2,(uω(u))′=ω(u−1)siu>2.De plus, nous prolongeons ω(u)par 0 pour u<1. Rappelons que S(x;y,z) est l’ensemble défini par (2.1). Désignons par Θ(x;y,z) son cardinal: Θ(x;y,z)≔∣S(x;y,z)∣. Soit σ(u,v) l’unique solution continue pour u>1 de l’équation u∂σ∂u(u,v)+σ(u−1,v−v/u)=0(u>v/(v−1),v>1) (3.4) avec les conditions initiales σ(u,v)=ω(v)(0≤u<1),σ(u,v)=ω(v)−1/v(1<u≤v/(v−1)). En 1976, Friedlander [11] a montré le résultat suivant. Lemme 3.4 Pour x≥y≥z>1, on définit u=logxlogyetv=logxlogz·Alors pour tout ε>0, on a Θ(x;y,z)=σ(u,v)xlogz+Oε(x(logz)2)pour (Fε) 1+ε≤u≤v≤ε−1. La fonction σ(u,v) est continue sur (Fε) et positive strictement excepté σ(u,v)=0 pour k<u≤v≤k+1 où k≥1 est tout entier. On trouvera dans [23–25] d’autres résultats sur Θ(x;y,z). 3.3. Valeurs moyennes criblées de certaines fonctions arithmétiques Dans [18], Lachand et Tenenbaum étudient les valeurs moyennes de certaines fonctions arithmétiques sur les entiers criblés. Le lemme suivant est un cas particulier de leur résultat. Lemme 3.5 Soient μ(n)la fonction de möbius et u=logx/logy. Pour tout ε>0, nous avons ∑n≤xP−(n)>yμ(n)n={1+O(log(u+1)logy)}ρ(u)+O(exp{−(logy)3/5−ε}) (3.5)uniformément pour x≥2,exp{(logx)2/5+ε}≤y≤x. Le Lemme 3.5 a été amélioré par La Bretèche et Fiorilli [6], en enlevant le terme d’erreur O(log(u+1)/logy) dans (3.5). 4. Démonstration du Théorème 1 4.1. Lemme pour le nombre de premiers translatés friables Pour démontrer le Théorème 1, on va tout d’abord établir le Lemme 4.1 ci-dessous pour le nombre de premiers translatés friables. La preuve du Lemme 4.1 suit la méthode de Lachand [17] sur n(n2+1) friable. Lemme 4.1 Soit aun entier. Pour x≥y>1, on définit π(x,y)≔∑p≤x,P+(p−a)≤y1etu≔logxlogy· (4.1)Alors pour tout u≥1fixé et x→∞, on a sous la conjecture d’Elliott-Halberstam π(x,y)∼ρ(u)π(x), (4.2)où ρ(u)est la fonction de Dickman définie comme dans (3.2) ci-dessus. Démonstration. On a d’abord par la formule d’inversion de Möbius ∑p≤x,P+(p−a)≤y1=∑p≤x,(p−a,∏y<p′≤xp′)=11=∑q≤x−aP−(q)>yμ(q)∑p≤xp≡a(modq)1=S1+S2, (4.3) où S1≔∑q≤x1−εP−(q)>yμ(q)∑p≤xp≡a(modq)1,S2≔∑x1−ε≤q≤x−aP−(q)>yμ(q)∑p≤xp≡a(modq)1. 1. Évaluation de S1 Pour S1, on écrit S1=S1′+S1″ (4.4) où S1′≔∑q≤x1−εP−(q)>yμ(q)π(x)φ(q)etS1″≔∑q≤x1−εP−(q)>yμ(q)(∑p≤xp≡a(modq)1−π(x)φ(q)). D’après l’Hypothèse (B), i.e. la conjecture d’Elliott-Halberstam, il suit S1″≪∑q≤x1−εmax(a,q)=1∣∑p≤xp≡a(modq)1−π(x)φ(q)∣≪x(logx)A (4.5) pour tout A, qui est admissible. Pour le terme principal S1′, on obtient en utilisant le Lemme 3.5 S1′=π(x)∑q≤x1−ε,P−(q)>yμ(q)q{1+O(1y)}=π(x)ρ(logx1−εlogy){1+o(1)}=π(x)ρ(u){1+o(1)+O(ε)} (4.6) pour x→∞ et 1≤u≪1. En reportant (4.6) et (4.5) dans (4.4), on obtient S1=π(x)ρ(u){1+o(1)+O(ε)} (4.7) sous la condition que x→∞ et 1≤u≪1. 2. Évaluation de S2 Pour évaluer S2, on écrit d’abord ∣S2∣≤∑x1−ε≤q≤x−aP−(q)>y∑p≤xp≡a(modq)1. On note que la dernière double somme compte les nombres premiers p tels que p−a=mq avec x1−ε≤q≤x−a, P−(q)>y et (m,a)=1, m≤xε. Pour chaque entier m≤xε et a, on pose A(m;a)≔{(p−a)/m:p≤xetp≡a(modm)},am≔{p:ppremier tel quep∤am},Pam(z)≔∏p<z,p∈amp=∏p<z,p∤amp. Alors ∣S2∣≤∑m≤xε(m,a)=1∣{q∈A(m;a):P−(q)>y}∣≤∑m≤xε(m,a)=1S(A(m;a);am,z). Pour tout z≤y. On va appliquer le Lemme 3.1 (le crible de Rosser-Iwaniec) pour majorer les cardinaux des ensembles criblés S(A(m;a);am,z). Pour tout d∣Pam(z), on a (d,m)=1 et ∣Ad(m;a)∣=∣{(p−a)/m:p≤xetp≡a(moddm)}∣=1φ(d)·π(x)φ(m)+(∑p≤xp≡a(moddm)1−π(x)φ(dm)). (4.8) Ainsi on peut utiliser le Lemme 3.1 avec D=z=y1−2ε et X=π(x)φ(m),r(A(m;a),d)=(∑p≤xp≡a(moddm)1−π(x)φ(dm)) et w(p)={0p∣am,pp−1p∤am. On obtient ∣S2∣≤S2′+S2″, (4.9) où S2′≔∑m≤xε(m,a)=1π(x)φ(m)∏p<zp∤am(1−1p−1){F(1)+o(1)},S2″≔∑m≤xε(m,a)=1∑d<Dd∣Pam(z)∣r(A(m;a),d)∣. Pour S2″, compte tenu de la condition d<D=y1−2ε≤x1−2ε, on a par l’inégalité de Cauchy-Schwarz S2″≤∑q≤x1−ετ(q)∣∑p≤xp≡a(modq)1−π(x)φ(q)∣≤(S2,*″S2,†″)1/2, où τ(q) est la fonction diviseur et S2,*″≔∑q≤x1−ετ2(q)∣∑p≤xp≡a(modq)1−π(x)φ(q)∣,S2,†″≔∑q≤x1−ε∣∑p≤xp≡a(modq)1−π(x)φ(q)∣. Pour S2,*″, on utilise l’estimation triviale: ∑p≤xp≡a(modq)1−π(x)φ(q)≪xq, et pour S2,†″ on applique l’Hypothèse (B). Cela donne pour tout A S2″≪(x(logx)A)1/2{x∑q≤x1−ετ(q)2q}1/2≪x(logx)A/2−4· (4.10) Pour S2′, en tenant compte de la condition m≤xε≤y1−2ε=z pour tout ε>0 arbitrairement petit, on a S2′≪a∑m≤xεπ(x)φ(m)∏p<z(1−1p−1)∏p∣m(1−1p−1)−1≪a∑m≤xεπ(x)m∏p<z(1−1p)∏p∣m(1−1p−1)−1(1−1p)−1. En utilisant la formule de Mertens, on obtient S2′≪aπ(x)logz∑m≤xε1m∏p∣m(1+2p)≪aπ(x)logz∏p≤xε(1+1+2pp)≪aπ(x)logz∏p≤xε(1+1p)≪a,uεπ(x). (4.11) La combinaison des formules (4.10), (4.11) et (4.9) entraîne la majoration ∣S2∣≤{Oa,u(ε)+oa(1)}π(x). (4.12) En reportant (4.7) et (4.12) dans (4.3), on trouve finalement ∑p≤x,P+(p−a)≤y1=π(x)ρ(u){1+oa(1)+Oa,u(ε)} pour x→∞,1≤u≪1. Ce qui implique le Lemme 4.1.□ 4.2. Démonstration du Théorème 1 1. Point de départ Pour un paramètre θ vérifiant ε0≤θ<12, où ε0 est une petite constante fixée, on a l’inégalité ∑p≤xP+(p−1)<P+(p+1)1≥∑p≤xP+(p−1)≤x1/2−ε1−∑p≤xP+(p+1)≤P+(p−1)≤x1/2−ε1≥∑p≤xP+(p−1)≤x1/2−ε1−(∑p≤xxθ<P+(p+1)≤P+(p−1)≤x1/2−ε1+∑p≤xP+(p+1)≤xθ1)=SA−(SB+SC). (4.13) 2. Évaluation de SA−SC A l’aide du Lemme 4.1, on a SA−SC∼{ρ(2)−ρ(1/θ)}π(x)(x→∞). (4.14) 3. Majoration de SB Au premier abord, si (P+(p−1),P+(p+1))>1, alors il existe deux entiers k2≥k1≥0 tels que p−1=2k1,p+1=2k2, compte tenu du fait que (p−1,p+1)=(p−1,2)=2. Ce qui implique que p=3. On peut donc supposer que (P+(p−1),P+(p+1))=1 dans la suite. Pour SB, en posant p1=P+(p−1) et p2=P+(p+1), on a dans un premier temps p≡1(modp1)etp≡−1(modp2). D’après le théorème des restes chinois, il existe un entier a(p1,p2)<p1p2 dépendant de p1,p2 tel que (a(p1,p2),p1p2)=1etp≡a(p1,p2)(modp1p2). Pour des commodités d’écriture, on écrit a=a(p1,p2) dans la suite. Alors on peut majorer la somme SB par SB=∑p≤xp1=P+(p−1),p2=P+(p+1)xθ<p2≤p1≤x1/2−ε1≤∑p2∑p1xθ<p2<p1≤x1/2−ε∑p≤xp≡a(modp1p2)1+O(1)=SB1+SB2+O(1), (4.15) où SB1≔∑p2∑p1xθ<p2<p1≤x1/2−επ(x)φ(p1p2),SB2≔∑p2∑p1xθ<p2<p1≤x1/2−ε(∑p≤xp≡a(modp1p2)1−π(x)φ(p1p2)). Pour le terme d’erreur SB2, de manière analogue à S2″ dans (4.10), on obtient en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, la conjecture d’Elliott-Halberstam et l’inégalité de Brun-Titchmarsh SB2≪∑q≤x1−ετ(q)∣∑p≤xp≡a(modq)1−π(x)φ(q)∣≪x(logx)A (4.16) pour tout A. Pour le terme principal SB1, on a SB1={∑xθ<p2≤x1/2−ε1p2∑p2<p1≤x1/2−ε1p1+o(1)}π(x)={∑xθ<p2≤x1/2−ε1p2loglogx1/2−εlogp2+o(1)}π(x)={∫xθx1/2−εloglogx1/2−εlogtd∑p2≤t1p2+o(1)}π(x)={∫θ1/2log(12t)dtt+o(1)}π(x)={12(log12θ)2+o(1)}π(x) (4.17) où l’on a appliqué le théorème des nombres premiers, une intégration par parties et la formule suivante ∑p≤x1p=log2x+c1+O(1logx) avec c1≈0,261497 la constante de Meissel-Mertens. En combinant les estimations (4.17), (4.16) et (4.15), il suit SB={12(log12θ)2+o(1)}π(x). (4.18) En reportant (4.14) et (4.18) dans (4.13), on en déduit finalement ∑p≤xP+(p−1)<P+(p+1)1≥{f(θ)+o(1)}π(x) où f(θ)≔ρ(2)−ρ(1θ)−12(log12θ)2(ε0≤θ<1/2). Si on impose la condition θ≥13, on a f(θ)=log12θ−12(log12θ)2−∫11/θ−1logtt+1dt. Á l’aide de Mathematica 9.0, on peut calculer f(θ˜)=max13≤θ<12f(θ)>0,1779 avec θ˜≈12,9. Cela achève la démonstration du Théorème 1. 5. Démonstration du Théorèmes 2 et 3 Nous donnerons seulement une démonstration du Théorème 2 puisque celle du Théorème 3 se fait quasiment de la même manière (voir [29]). Soient 0<β<13,β<α<12 (5.1) et y=xα, z=xβ. Alors ∑n≤xP+(n)<P+(n+2)P−(n)>z1≥∑n∈S(x;y,z)(n+2,P(x,y))>11, (5.2) où S(x;y,z) est définie par (2.1) et P(x,y) est définie par P(x,y)≔∏y<p≤xp. Pour n≤x et y<x, on a ω(n;x,y)≔∑y<p≤xp∣n1≤logxlogy, (5.3) d’où (logxlogy)−1ω(n;x,y){≤1si(n,P(x,y))>1,=0sinon. (5.4) Ainsi on peut détecter les conditions (n+2,P(x,y))>1 dans la formule (5.2) par (5.4): ∑n≤x,P−(n)>zP+(n)<P+(n+2)1≥∑n∈S(x;y,z)ω(n+2;x,y)(logxlogy)≥α∑n∈S(x;y,z)ω(n+2;x1/2/(logx)B,xα)=α∑n∈S(x;y,z)∑p∣n+2xα<p≤x1/2/(logx)B1=α∑xα<p≤x1/2/(logx)B∑n∈S(x;y,z)n≡−2(modp)1=α(S1+S2) (5.5) avec S1≔∑xα<p≤x1/2/(logx)B1φ(p)∑n∈S(x;y,z)(n,p)=11,S2≔∑xα<p≤x1/2/(logx)B(∑n∈S(x;y,z)n≡−2(modp)1−1φ(p)∑n∈S(x;y,z)(n,p)=11), où B est une constante convenable. Pour S2, en utilisant le Théorème 4 on obtient S2≪∑q≤x1/2/(logx)B∣∑n∈S(x;y,z)n≡−2(modq)1−1φ(p)∑n∈S(x;y,z)(n,q)=11∣≪x(logx)A· (5.6) Pour S1, on peut retirer la condition (n,p)=1 compte tenu de p>xα et P+(n)≤xα si n∈S(x;xα,xβ). On évalue ensuite S1 à l’aide du Lemme 3.4 sur Θ(x;y,z) S1=∑xα<p≤x1/2/(logx)BΘ(x;xα,xβ)φ(p)=σ(1/α,1/β)xlogxβ∑xα<p≤x1/2/(logx)B1p{1+o(1)}={σ(1/α,1/β)βlog(12α)+o(1)}xlogx. (5.7) En reportant (5.7) et (5.6) dans (5.5), on déduit que ∑n≤x,P−(n)>xβP+(n)<P+(n+2)1≥{g(α,β)+oα,β(1)}xlogx (5.8) où g(α,β)≔σ(1α,1β)αβlog(12α) (5.9) pour α et β vérifiant (5.1). Pour ces α et β, la fonction g(α,β) est strictement positive et continue. De plus, on a limα→12g(α,β)=0,limα→βg(α,β)=0. Ainsi pour tout 0<β<13 fixé il existe un α0=α0(β)∈]β,12[ tel que C(β)≔g(α0,β)=maxβ<α<12g(α,β)>0. (5.10) En particulier, on a C(14)≥g(13,14)>0,0267 en prenant α=13, β=14. La preuve du Théorème 2 est complète. References 1 A. Balog , On triplets with descending largest prime factors , Studia Sci. Math. 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Published: Mar 9, 2018

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