Access the full text.
Sign up today, get DeepDyve free for 14 days.
Loading next page...
/lp/de-gruyter/logiczna-analiza-operacji-zdefiniowanych-w-trzech-konstrukcjach-davida-9NIYaC2kTX
- Publisher
- de Gruyter
- Copyright
- Copyright © 2013 by the
- eISSN
- 1230-1493
- DOI
- 10.2478/pfns-2013-0038
- Publisher site
- See Article on Publisher Site
Abstract
Przegld Filozoficzny Nowa Seria R. 22: 2013, Nr 2 (86), ISSN 12301493 DOI: 10.2478/pfns-2013-0038 Piotr Lukowski Slowa kluczowe: mylenie, rozumowanie, niemonotoniczno, D. Makinson, przekonania, operacja (relacja) konsekwencji, regula, wartociowanie, inferencja, logika, logika klasyczna, bld, ogólno nazw, typ, stereotyp Wiarygodno konstrukcji posiadajcych niemonotoniczny charakter zaley od ich zgodnoci z definicj niemonotonicznej inferencji. Definicja operacji czy relacji niemonotonicznej jest wrcz jedynym kryterium, którego nie sposób omin. Albo kryterium to jest spelnione, albo nie jest. W pierwszym przypadku mamy do czynienia z niemonotonicznoci, w drugim za nie moe nawet by o niej mowy. Istotne w tej definicji jest to, e okrela ona inferencj opisujc j w dwóch krokach. Jeden, pojedynczy krok inferencji uniemoliwia zdiagnozowanie jej jako niemonotonicznej. Dopiero zaleno midzy dwoma krokami wskazuje na ewentualn niemonotoniczno inferencji. O ile spelnienie definicji oznacza niemonotoniczno inferencji, o tyle niespelnienie nic o inferencji nie mówi ani e jest niemonotoniczna, ani e jest monotoniczna. Poniewa niemonotoniczno jest rozumiana jako zaprzeczenie monotonicznoci, przypomnijmy najpierw definicj tej drugiej. Inferencja jest monotoniczna, jeli wnioski wynikajce ze zbioru przeslanek wynikaj z kadego jego nadzbioru. Jeli wic Z = {p1,..., pn} jest zbiorem przeslanek, z którego wynika wniosek p, to inferencja ta jest monotoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy wniosek p wynika take z dowolnego nadzbioru zbioru Z: Inferencja | jest monotoniczna wtw dla dowolnych p, q, Z (jeli Z | p, to Z È {q} | p). Piotr Lukowski Zatem niemonotoniczn bdzie kada taka inferencja, na mocy której z pewnego zbioru Z wynika pewien wniosek p, który jednak nie wynika z pewnego nadzbioru tego zbioru: Inferencja | jest niemonotoniczna wtw dla pewnych p, q, Z, takich, e q Ï Z (Z | p i nieprawda, e Z È {q} | p). Niemonotoniczne jest rozumowanie, w którym stosuje si niemonotoniczne inferencje. Oznacza to, e jeli mylimy niemonotonicznie, to moe si zdarzy, e jaki wniosek wyprowadzimy z danego zbioru przeslanek, nie mogc go jednak wyprowadzi z rozszerzenia tego zbioru o pewne konkretne nowe przeslanki. Jedyna, ale za to powana trudno w spelnieniu tej definicji, polega na tym, e inferencja jest niemonotoniczna, jeli czyni zado dwóm precyzyjnie wyraonym warunkom. Otó po pierwsze, aby inferencja byla niemonotoniczna, uyty w pierwszym kroku zbiór Z przeslanek musi pozosta w drugim kroku nienaruszony, w tym sensie, e adna z jego przeslanek nie moe znikn. W drugim kroku zbiór Z jest jedynie powikszany o nowe przeslanki, jednak przy zachowaniu dokladnie wszystkich (!), które tworz zbiór Z. Drugim warunkiem jest obowizywanie w drugim kroku dokladnie wszystkich (!) tych regul, które obowizywaly w kroku pierwszym. Niespelnienie warunku pierwszego oznaczaloby, e definiens definicji niemonotonicznej inferencji mialby posta: Dla pewnych p, Z1, Z2, takich, e Z1 ¹ Z2 (Z1 | p i nieprawda, e Z2 | p). Niespelnienie za warunku drugiego sprowadzaloby definiens do postaci: Dla pewnych p, q, Z takich, e q Ï Z (Z |1 p i nieprawda, e Z È {q} |2 p). aden z dwóch powyszych definiensów nie okrela inferencji niemonotonicznej, a ponadto drugi nie okrela nawet jednej inferencji. Sytuacja jeszcze si pogarsza, gdy obie te niecisloci zachodz jednoczenie: Dla pewnych p, q, Z1, Z2, takich, e Z1 Ë Z2 i q Ï Z1 (Z1 |1 p i nieprawda, e Z2 È {q} |2 p). Tak wic jedynie zachowanie w drugim kroku w nienaruszonym stanie zarówno zbioru Z, jak i relacji | sprawia, e w ogóle moemy mówi o niemonotonicznoci inferencji. Dlatego w zaproponowanych tu rozwaaniach niemonotoniczno bdzie rozumiana wylcznie jako okrelona poprawn postaci Logiczna analiza operacji zdefiniowanych w trzech konstrukcjach D. Makinsona definiensa. W przeciwnym razie rozwaania te albo dotyczylyby bliej nieokrelonej logicznie inferencji, ewentualnie wizki inferencji, która w logice nie ma nawet swojej nazwy, albo bylyby obarczone jakim, by moe nawet dobrze znanym, bldem logicznym. 1. Motywacje pozaformalne Zazwyczaj rozwaania dotyczce niemonotonicznoci s poprzedzane ,,zwyklymi", a nawet, wydawa by si moglo, banalnymi przykladami majcymi ilustrowa nasze codzienne mylenie. Jednak prosta, ale trzymajca si podstawowych standardów logicznych analiza takich ilustracji jest w stanie podway ich zwizek z niemonotonicznoci. W moim artykule Is human reasoning really nonmonotonic?1 zostala przedstawiona precyzyjna analiza kilku najgloniejszych i wydaje si, e najwaniejszych przykladów, które mialyby wiadczy o niemonotonicznoci ludzkiego mylenia. Tutaj jedynie w duym skrócie zostan przytoczone najwaniejsze ustalenia wynikajce z tamtych rozwaa. 1a. Stawianie diagnoz medycznych Ulubionym przykladem mylenia niemonotonicznego jest stawianie diagnoz lekarskich2. Skoro bowiem dysponujc pewnymi informacjami (przeslankami p1, p2, p3), bdcymi wynikami przeprowadzonych bada, lekarz orzeka, i pacjent cierpi na chorob z1, a po przeprowadzeniu dodatkowych bada, czyli dysponujc informacjami p1, p2, p3, p4, stawia now diagnoz z2 rón od z1, to najwidoczniej myli niemonotonicznie. Taka interpretacja jest jednak dla lekarzy krzywdzca, gdy zaklada, e wyznaj oni sprzeczne (!) przekonania. Co gorsza, sprzeczno ta charakteryzowalaby cal medycyn rozumian jako nauka. Przyjmijmy bowiem, e lekarz, kierujcy si przecie wiedz medyczn, wiedzialby, e o chorobie z1 wiadcz symptomy p1, p2, p3, ale symptomy p1, p2, p3, p4 wykluczaj chorob z1. Wówczas wprost z drugiego zaloenia wynika, e jednak symptomy p1, p2, p3 nie mog wiadczy o chorobie z1, bo stanowi niewystarczajcy zbiór przeslanek. Reasumujc, w interpretacji niemonotonicznej symptomy p1, p2, p3 wiadcz o chorobie z1 i zarazem j wykluczaj. Na dodatek ma to by zgodne ze sztuk lekarsk i wiedz medyczn. Tymczasem bardziej naturalna, bo zarazem logiczna i zgodna ze zdrowym rozsdkiem, yczliwa dla lekarzy i wiedzy, jak posiadaj, interpretacja zaklaLukowski 2013. Makinson 2005: 1. Diagnozowanie rozumiane jako przypadek niemonotonicznoci w myleniu rozwaa take Ginsberg 1994: 7. Piotr Lukowski da, e kady lekarz wie (lub przynajmniej powinien wiedzie), i symptomy p1, p2, p3 wystpuj w chorobach z1, z2, z3, z4, z5, z6, z7, jednak w tych konkretnych warunkach (w danym kontekcie, okrelonym przez ple, wiek, zawód chorego, choroby jego rodziców i dziadków etc.) najbardziej prawdopodobna jest choroba z1, któr jednak wyklucza symptom p4. Symptomy p1, p2, p3, p4 wystpuj natomiast w chorobach z2, z4, z5, z6. Nie ma tu mowy o jakiejkolwiek niemonotonicznoci w myleniu. Oczywicie moe si zdarzy, e symptomy p1, p2, p3, p4 ostatecznie i jednoznacznie wska na chorob z2, jednak wówczas adne dodatkowe badania tej diagnozy ju nie podwa. Zatem i w tym przypadku niemonotoniczno nie zachodzi. Diagnozowanie w medycynie nie jest wic przypadkiem niemonotonicznoci w rozumowaniu, lecz ilustruje przeprowadzan etapami precyzacj wnioskowania. Majc wicej przeslanek, dochodzimy do coraz to precyzyjniejszego wniosku: wiedzc, e prawd jest z2 z3 ... zk, wiemy wicej ni wtedy, gdy wiemy, e prawd jest z1 z2 z3 ... zk. Rozumowanie tego typu charakteryzuje nie tylko stawianie diagnoz lekarskich, ale i problemy szukania przedmiotów, omijania przeszkód czy róne inne procesy decyzyjne. Dla przykladu, Witold Lukaszewicz rozwaa przypadek odpowiadajcy diagnozowaniu, który zalicza do problemów rozumowa opartych na niepelnych danych3. W przykladzie tym musz spotka si z Janem. Wiedzc, e Jan ma zwyczaj przebywa w tym czasie w pubie, id do pubu. Po drodze Pawel informuje mnie, e widzial Jana idcego w przeciwnym ni pub kierunku, co uniewania moje przypuszczenie, e Jan jest w pubie, o którym mylalem. Nietrudno dostrzec, e przyklad ten ilustruje problem diagnozowania. Nie wiem, gdzie jest Jan, tak jak nie wiem, na jak chorob cierpi pacjent. Wybieram zatem najbardziej prawdopodobne rozwizania. Zdobywajc kolejne dodatkowe informacje, eliminuj konkretne moliwe w danej sytuacji choroby oraz konkretne moliwe w przypadku Jana miejsca jego pobytu. 1b. Spotkanie w pubie Innym czsto cytowanym przykladem jest spotkanie w pubie. Aby przyj na umówion godzin do pubu na spotkanie z Janem, Marek powinien o odpowiedniej porze wyj z domu, w razie niskiej temperatury zaloy cieplejszy plaszcz, wezwa taksówk itp. Jednak po telefonie od Anny, informujcym go o wypadku samochodowym Jana, Marek rezygnuje z wyjcia do pubu. Ma to wiadczy o niemonotonicznoci mylenia Marka: nowa informacja uniewania co najmniej jeden z wczeniej wyprowadzonych wniosków. Naturalnie nie ma tu adnej niemonotonicznoci, a jedynie ukryte, lecz bezwzgldnie obo3 Lukaszewicz 1990: 78. Logiczna analiza operacji zdefiniowanych w trzech konstrukcjach D. Makinsona wizujce zaloenia rozumowania. Przecie obaj, i Jan, i Marek doskonale wiedz, e do ich spotkania dojdzie pod warunkiem, e nic nie stanie im na przeszkodzie. A potencjalnych zdarze czynicych spotkanie niemoliwym jest ogromna ilo: choroba jednego z nich, choroba kogo bliskiego, wypadek na ulicy, w kuchni, w pracy, poar w pubie, niepamitanie o spotkaniu itd. Dlatego wniosek z, orzekajcy o spotkaniu w pubie, nie wynika jedynie z pewnych konkretnych i wiadomych, zwlaszcza dla Jana i Marka, przeslanek p1,...,pn, ale z tych wszystkich przeslanek wzmocnionych pewn dodatkow przeslank q, orzekajc, e nic nie przeszkodzi spotkaniu. Zatem nie jest prawd {p1,... ,pn} | z, lecz {p1,... ,pn, q} | z. Skoro wic Marek przestaje dysponowa przeslank q (bo okazuje si ona falszywa), nie moe on wyprowadzi wniosku z. Jak wida, przypadek ten, standardowy dla logiki defaultów, nie ma nic wspólnego z niemonotonicznoci, cho ilustruje powszechnie stosowany sposób mylenia. Ciekawy, cho typowy w tym kontekcie komentarz formuluje David Poole, twierdzc e logika defaultów formalizuje przypadki polegajce na tym, e w logicznej argumentacji dopuszczamy uycie przeslanki, która nie moe by dopuszczona w sytuacji, gdy otrzymujemy now informacj4. q jest t wlanie przeslank, której nie moemy ju uy po otrzymaniu nowej informacji dostarczonej przez Ann, a mówicej o wypadku, któremu ulegl Jan. Komentarz Poole'a jest o tyle niezwykly, e jawnie pokazuje, i w pierwszym kroku dysponujemy jak przeslank, która znika w drugim kroku rozumowania. Nie moe wic by mowy o tym, e w drugim kroku nastpuje poszerzenie zbioru przeslanek a wic nie mona tu mówi o niemonotonicznoci. Przyklady majce ilustrowa logik defaultów reprezentuj pewien rodzaj codziennego mylenia, które nie jest w adnym razie myleniem niemonotonicznym. Mona patrze na nie jak na mylenie wedlug typowych schematów, a take jak na rozumowanie z jawnych i ukrytych przeslanek, oba majce wiele wspólnego z myleniem stereotypowym. Kierujc si dowiadczeniem, zdajemy sobie spraw, e zdarzenia mogce zniweczy nasze zamiary s malo prawdopodobne. Dlatego chocia kade z takich zdarze skutecznie zablokowaloby prawdziwo wniosku, wycigamy wniosek mimo wszystko, zakladajc entymematycznie, e adne z zaklócajcych zdarze nie dojdzie do skutku. Jeli jednak które z nich staloby si faktem, nie bylibymy zaskoczeni tym, e wniosek ju nie wynika z przeslanek, lecz raczej tym, e zaszlo malo prawdopodobne zdarzenie. 4 ,,In nonmonotonic reasoning we want to reach conclusions that we may not reach if we had more information. There seem to be two ways to handle this; we could change logic to be defeasible, or we could allow some premises of the logical argument that may not be allowed when new information is received. Default logic is a formalization of the latter; it provides rules that add premises to logical arguments" (Poole 1994: 189). Piotr Lukowski 1c. Stru Tweety Jednym z najstarszych przykladów na rzekom niemonotoniczno naszego mylenia jest przyklad strusia Tweety. Wiedzc, e Tweety jest ptakiem, wnioskujemy, e moe fruwa. Gdy jednak dowiadujemy si, e jest strusiem, wiemy ju, e nie moe fruwa. W pierwszym kroku stwierdzamy co, co musimy odrzuci w drugim kroku. Tymczasem okazuje si, e nie ma tu adnej niemonotonicznoci, lecz bld logiczny tzw. ogólnoci. Bld ogólnoci polega na przypisaniu cech przedstawicieli jednego gatunku przedstawicielom innego gatunku, tylko dlatego, e oba reprezentuj ten sam rodzaj. W innej postaci, bld ogólnoci polega na przypisaniu przedstawicielom danego rodzaju cech typowych dla jednego z gatunków tego rodzaju. Omawiane tu rozumowanie reprezentuje bld ogólnoci w drugiej postaci. Istotnie, Tweety'emu jako ptakowi przypisana jest cecha latania, która przysluguje pewnym gatunkom ptaków. Usprawiedliwieniem dla popelnienia tego bldu jest fakt, e latanie faktycznie przysluguje ptakom ogromnej wikszoci gatunków. Dokladnie ten sam schemat charakteryzuje inny znany w literaturze przyklad rozumowania, w którym od zaloenia, e jakie zwierz jest ssakiem, dochodzimy do przekonania, e nie sklada ono jaj. Gdy jednak dodamy now przeslank, informujc, e rozwaanym zwierzciem jest dziobak, wiemy, e si pomylilimy, bo dziobaki to ssaki, które skladaj jaja. Przypadek strusia Tweety, ssaka, który nie sklada jaj, jak i wiele im podobnych ilustruje banalny bld, na jaki jestemy naraeni zawsze, gdy w myleniu poslugujemy si jakim typem, nawet wówczas, gdy typ ten jest dominujcy. Chocia rozumowanie, zarówno w przypadku strusia Tweety, jak i ssaka skladajcego jaja, ilustruje mylenie stereotypowe, to jednak popelniony w nich bld ogólnoci ma w kadym z przypadków najprawdopodobniej inn przyczyn. Mona przypuszcza, e w pierwszym przypadku jest on efektem niestarannoci, w drugim za wynika z braku wiedzy. Sytuacje, w których bldne mylenie jest skutkiem luk w wyksztalceniu lub braku dobrej woli nale do najczstszych wród tych, które s uznawane za reprezentujce mylenie stereotypem. Wane jest, aby odróni i oddzieli niemonotoniczno od rozumowa, w których wystpuje bld logiczny lub pozalogiczny. W przeciwnym razie kade rozumowanie polegajce na wykryciu popelnionego wczeniej bldu i odrzuceniu pochopnie przyjtej konkluzji mogloby zosta uznane za przypadek niemonotonicznoci. Do drastycznym przykladem ilustrujcym, jak popelnienie bldu interpretuje si jako niemonotoniczno, jest przypadek zaparkowanego przed domem samochodu. Logiczna analiza operacji zdefiniowanych w trzech konstrukcjach D. Makinsona 1d. Samochód zaparkowany przed domem Idc do mieszkania Bartka, widz, e przed blokiem jest zaparkowane jego auto. Dochodz wic do wniosku, e Bartek jest u siebie w mieszkaniu. Dzwonic uporczywie do domofonu, przekonuj si, e jednak jest w domu nieobecny. Najpierw wywnioskowalem t = ,,Bartek jest w mieszkaniu", póniej uznalem falszywo t. Za co naturalnego uwaa si akceptacj implikacji s t, gdzie s = ,,Auto Bartka jest zaparkowane przed jego blokiem". Widzc auto Bartka przed jego domem, uznaj prawdziwo zdania s. Zatem w pierwszym kroku rozumowania dochodz do wniosku, e Bartek jest w mieszkaniu: wyprowadzam t ze zbioru {s t, s}. W drugim kroku, który do trudno nazwa rozumowaniem, gdy jest raczej prostym stwierdzeniem faktu, dochodz do przekonania, e t jest jednak zdaniem falszywym. Naley zauway, e upieranie si przy stwierdzeniu, i przyklad ten ilustruje niemonotoniczno naszego mylenia, wymaga pogwalcenia zasad logiki. Skoro bowiem mamy tu do czynienia z niemonotonicznoci, oznacza to, e wszystkie dotychczasowe przeslanki nadal obowizuj. Zatem przy niezmienionym (!) zbiorze przeslanek {s t, s} w drugim kroku dochodzimy do zaakceptowania t. Wydaje si, e cena za obron niemonotonicznoci jest w tym przypadku szczególnie wygórowana, zwlaszcza dla osoby mylcej racjonalnie: prowadzi przecie do jednoczesnej akceptacji t i t. Jeli ta oczywista tu sprzeczno nie zachodzi, to najwyraniej dlatego, e z jakich powodów rezygnujemy z zastosowania reguly Modus Ponens w sytuacji, w której jej zastosowanie jest wrcz oczywiste: mamy przecie zarówno s t, jak i s. Ta karkolomna i wtpliwa logicznie interpretacja ma jeden jedyny cel: obron niemonotonicznej interpretacji tego przypadku. Tymczasem istnieje proste, bez wtpienia monotoniczne wyjanienie tego banalnego przypadku. Implikacj, któr akceptuj, jest s t', gdzie s = ,,Auto Bartka jest zaparkowane przed jego blokiem" i t' = ,,Bartek powinien by w mieszkaniu"5. Dzwonic do domofonu, przekonuj si, e nieprawdziwe jest zdanie t = ,,Bartek jest w mieszkaniu". Zatem, w tamtej chwili, moje przekonania wyraone s nastpujcymi zdaniami s t', s, t' oraz t, co w skrócie da si wyrazi nastpujco: ,,Bartek powinien teraz by w domu, ale go nie ma". Czy jest w tym co niezwyklego? Oczywicie, e nie. Przecie Bartek moe by w pobliskim sklepie, mógl wpa do ssiada, wyj z psem na spacer itd. Czy mamy tu do czynienia z czymkolwiek, co mogloby si wiza z myleniem niemonotonicznym? Co gorsza, niemonotoniczna interpretacja wymaga zwyklej nielogicznoci. Jest absurdalna. Oczywicie t' moe mie inne, cho podobne znaczenie. Piotr Lukowski 1e. Podsumowanie przykladów majcych ilustrowa niemonotoniczno mylenia Kady analizowany wyej przyklad majcy dowodzi niemonotonicznoci naszego mylenia reprezentuje pewien rodzaj rozumowania, z których aden nie ma nic wspólnego z niemonotonicznoci. Pierwsza grupa, reprezentowana przez dwa przyklady: stawiania diagnoz medycznych oraz spotkania w pubie, ilustruje mylenie precyzujce, które moe by traktowane zarówno jako mylenie wedlug typowych schematów, jak i rozumowanie z jawnych i ukrytych przeslanek. Oba sposoby mylenia s interesujce i warte analiz logicznych. Dwa inne przyklady: strusia Tweety oraz ssaka skladajcego jaja, reprezentuj klas rozumowa opartych na myleniu stereotypowym (tj. myleniu wedlug typów dominujcych). To niezwykle wane, wymuszone wlasnociami wyrae jzyka naturalnego mylenie równie nie ma nic wspólnego z niemonotonicznoci. Wreszcie ostatnia konstrukcja mylowa: samochodu zaparkowanego przed domem, ilustruje równie typowy sposób niecislego mylenia, którego istot jest prosty, oczywisty bld. Gdy jednak mylenie to jest interpretowane niemonotonicznie, okazuje si albo prowadzi do oczywistej sprzecznoci, albo jest jawn niekonsekwencj. Rónorodno problemów kryjcych si za wymienionymi wyej typami rozumowa winna sta si impulsem dla interesujcych bada nad logiczn stron ludzkiego mylenia. W tym te sensie uparte traktowanie tych przykladów jako ilustracji niemonotonicznoci moe ograniczy postp na tym polu moe bowiem uniemoliwi dyskusj nad innymi sposobami wyjaniania sposobów ludzkiego mylenia. Najwyraniej niemonotoniczno funkcjonuje obecnie jako bardzo pojemny worek dla wszelkich rónorodnych a nieortodoksyjnych z punktu widzenia logiki klasycznej sposobów mylenia. Jeli wic wydaje si, e w jakim przypadku nie mylimy klasycznie, to najlatwiej przypuci, e kryje si za tym niemonotoniczno. Jak wida, do jednego worka s wrzucane wnioskowania, w których wniosek jest alternatyw, przypadki, w których skazani jestemy na rezygnacj z wypowiadania wszystkich przeslanek, rozumowanie stereotypem, jak równie rozumowania obarczone zwyklymi bldami, i to nawet logicznymi. Co gorsza, ju sama zwykla rezygnacja z wczeniej akceptowanej konkluzji czsto uchodzi za objaw niemonotonicznoci, tak jakby nie istnialy kontrakcja czy rewizja6. Trudno jednoznacznie stwierdzi, e czlowiek na pewno nie myli niemonotonicznie. Jednak wydaje si, e obecnie brakuje wiarygodnych przykladów na to, e mylimy niemonotonicznie. Analizy przeprowadzone w tej czci 6 Contraction i revision to podstawowe operacje na przekonaniach analizowane w ramach tzw. belief revision, zob. np. Alchourrón, Gärdenfors, Makinson 1985. Logiczna analiza operacji zdefiniowanych w trzech konstrukcjach D. Makinsona pracy ujawniaj rónorodno sposobów ludzkiego mylenia, które poza przypadkami mylenia wykorzystujcego zwykle bldy maj jeden wspólny, mocny i niepodwaalny fundament. Jest nim monotoniczno. 2. Konstrukcje formalne Makinsona Na przestrzeni lat zaproponowano kilka interesujcych formalnych propozycji inferencji, majcych spelnia definicj niemonotonicznoci. Ostatnio, w swojej ksice Od logiki klasycznej do niemonotonicznej, David Makinson zebral wikszo z nich w trzy grupy, dodajc dwie wlasne konstrukcje7. Kada konstrukcja naleca do której z tych trzech klas jest traktowana jako operacja czy relacja niemonotoniczna. W przypadku kadej klasy operacji, punktem wyjcia jest logika klasyczna, a dokladniej pewne jej niestrukturalne wzmocnienie. Dziki niestrukturalnoci, ta pomocnicza logika moe by niesprzeczna, bdc zarazem nadklasyczn. Logik klasyczn Makinson wzmacnia na trzy sposoby, odpowiadajce kolejnym klasom operacji/relacji:8 1) przyjmujc dodatkowe przeslanki, bdce ,,zaloeniami obowizujcymi w tle wnioskowania"; 2) zmniejszajc zbiór wartociowa ,,uwaanych za moliwe do przyjcia"; 3) dodajc nowe reguly wnioskowania. Kady z trzech wymienionych rodzajów wzmocnienia logiki klasycznej generuje wlasn klas logik nadklasycznych, umoliwiajcych, zdaniem Makinsona, okrelenie inferencji niemonotonicznych. 2a. Zastosowanie dodatkowych zaloe ukrytych w tle Punktem wyjcia w metodzie pierwszej jest wzmocnienie logiki klasycznej o zbiór K tych ,,stalych" przeslanek, które chocia s uywane w inferencji, to jednak np. z powodu ich oczywistoci nie s oficjalnie uwzgldniane. Gdyby mówi o rozumowaniach, jakie przeprowadzamy kadego dnia, K bylby zbiorem przeslanek entymematycznych wyraajcych wiedz ogóln. Uwzgldnienie zbioru K jest podstaw okrelenia tzw. konsekwencji zaloe osiowych. Niech L bdzie zbiorem wszystkich formul jzyka, za K ustalonym podzbiorem L. K bdzie odgrywal rol ,,zbioru zaloe ukrytych w tle", wyraajcych nasze przekonania o wiecie. Niech A Í L, x Î L. Wówczas x jest konsekwencj zbioru A modulo zbiór zaloe K (symbolicznie A |K x Makinson 2005. Makinson 2005: 19. Piotr Lukowski lub x Î CnK(A)) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego wartociowania v, jeli v(K È A) = 1, to v(x) = 1. Zatem, wprost z definicji, konsekwencja zaloe osiowych CnK (relacja zaloe osiowych |K) daje si wyrazi przy pomocy konsekwencji klasycznej Cn (relacji klasycznej |) nastpujco: x Î CnK(A) wtw x Î Cn(K È A); relacyjnie: A |K x wtw (K È A) | x. Otrzymana logika jest nadklasyczna (Cn £ CnK, | Í |K), gdy zbiór K nie jest domknity na podstawianie. CnK nie jest wic konsekwencj strukturaln, dziki czemu, bdc mocniejsz ni klasyczna (Cn £ CnK, | Í |K), nie jest konsekwencj sprzeczn, oczywicie jeli tylko K nie jest zbiorem sprzecznym. Istotnie, nie dla kadego A Cn(K È A) jest zbiorem sprzecznym. Operacja konsekwencji CnK (relacja konsekwencji |K) zaloe osiowych K jest podstaw zdefiniowania operacji CK (relacji |~K) zaloe domylnych: CK(A) = Ç{Cn(K' È A): K' Í K oraz K' jest maksymalnie niesprzeczny z A}. Relacja |~K modulo zbiór K domylnych zaloe jest okrelona nastpujco: A |~K x wtw (K' È A) | x, dla dowolnego K' Í K, maksymalnie niesprzecznego z A. Konsekwencj domylnych zaloe Makinson nazywa zarówno kad operacj, która jest identyczna z pewn operacj CK, jak równie kad relacj identyczn z pewn relacj |~K. Konsekwencji domylnych zaloe jest tyle, ile moliwych zbiorów K. Istot konsekwencji zaloe domylnych Makinson ilustruje przykladem zwanym przez siebie ,,wstg Möbiusa". Niech K = {p q, q r, r p}, za A = {p}. Naturalnie K È A jest zbiorem sprzecznym. Wszystkimi maksymalnie niesprzecznymi z A podzbiorami K s: K1 = {p q, q r}, K2 = {p q, r p} oraz K3 = {q r, r p}. Zatem kolejno: Cn(K1 È A) = Cn({p q, q r, p}) = Cn({p, q, r}), Cn(K2 È A) = Cn({p q, r p, p}) = Cn({p, q, r}), Logiczna analiza operacji zdefiniowanych w trzech konstrukcjach D. Makinsona Cn(K3 È A) = Cn({q r, r p, p}) = Cn({p, q, r}). Poniewa formuly (p q r) (p q r) (p q r) oraz p (q r) s klasycznie równowane, konsekwencja zaloe osiowych CK(A) = Cn({p (q r)}). Ponadto, Cn({p}) = Cn(A) Ì CK(A) = Cn({p (q r)}). Istotnie, q r Î CK(A) i jednoczenie q r Ï Cn(A). Co wicej, z definicji konsekwencji zaloe domylnych wynika, e CK(A) = CnK1(A) Ç CnK2(A) Ç CnK3(A). Istotnie, CK(A) = Ç{CnK'(A): K' Í K oraz K' jest maksymalnie niesprzeczny z A}. Makinson nie ukrywa, e celem konstrukcji konsekwencji zaloe domylnych jest uzyskanie operacji lub relacji niemonotonicznych z dobrze znanego materialu, jakim jest logika klasyczna. Na kolejnym przykladzie Makinson pokazuje, e faktycznie konsekwencja zaloe domylnych nie musi by monotoniczna. Resetujc znaczenia uytych w poprzednim przykladzie symboli, tym razem przyjmijmy, e K = {p q, q r}. Poniewa K È {p} nie jest zbiorem sprzecznym, istnieje wic tylko jeden maksymalnie niesprzeczny z {p} podzbiór K i jest nim wlanie K. Zatem r Î CK({p}), gdy r Î Cn(K È {p}) ¹ L. Mimo to r Ï CK({p, q}). Istotnie, K È {p, q} jest zbiorem sprzecznym. Co wicej, istnieje tylko jeden podzbiór zbioru K maksymalnie niesprzeczny z {p, q}. Jest nim K' = {q r}. Nietrudno zauway, e r Ï Cn({q r, p, q}). Reasumujc, r Î CK({p}) i jednoczenie r Ï CK({p, q}), chocia {p} Í {p, q}. Mogloby si wydawa, e cala konstrukcja jest poprawna, a cel osignity. Warto jednak przyjrze si definicji operacji CK, która podobno miala by niemonotoniczna. Otó dla dowolnych zbiorów formul K, A Í L, CK(A) jest iloczynem wszystkich tych teorii klasycznej operacji konsekwencji Cn(K' È A), dla których K' Í K jest maksymalnie niesprzeczny z A. Moe si zatem zdarzy, e powikszajc zbiór A do jakiego nadzbioru A' (A Ì A'), dla jakiej formuly Î L mamy: Î Ç{Cn(K' È A): K' Í K oraz K' jest maksymalnie niesprzeczny z A} i jednoczenie Ï Ç{Cn(K" È A'): K" Í K oraz K" jest maksymalnie niesprzeczny z A'}. Piotr Lukowski Poniewa Cn jest operacj monotoniczn, nienaleenie do iloczynu teorii Cn(K" È A') jest moliwe dziki temu, e rodzina zbiorów K' = {K' Í K: K' jest maksymalnie niesprzeczny z A} jest róna od rodziny zbiorów K" = {K" Í K: K" jest maksymalnie niesprzeczny z A'}: K' ¹ K". Rodzina K" zawiera tylko te zbiory nalece do K', które nie s sprzeczne ze zbiorem A'. Kady za zbiór z K', który jest sprzeczny z A', jest w K" zastpiony przez swoje wlaciwe podzbiory, oczywicie niesprzeczne z A'. Zatem sporód wszystkich zbiorów z K' przynajmniej jeden nie wystpuje w K". A przecie zarówno elementy zbiorów A oraz A', jak równie elementy zbiorów rodzin K' oraz K" to nic innego jak przeslanki faktycznie wykorzystywane w inferencji. Nie jest wic prawd, e operacja CK ma wlasno niemonotonicznoci. Przecie nie jest prawd, e w jednym kroku jaka formula jest wyprowadzalna ze zbioru przeslanek A, a w innym kroku ta sama formula nie jest ju wyprowadzalna ze zbioru powstalego z poszerzenia zbioru A. Poniewa, CK jest zdefiniowana przy pomocy klasycznej operacji konsekwencji, nie jest moliwe, aby samo poszerzenie zbioru przeslanek zaowocowalo zmniejszeniem iloci wniosków inferowalnych z tych przeslanek. Musi wic nastpi usunicie niektórych przeslanek. Naturalnie redukcja ta dotyczy jedynie przeslanek, które nale do zbiorów z rodziny K'. Zbiór A to jedyny zbiór, do którego nale przeslanki z pewnoci dziedziczone w drugim kroku. Inne przeslanki mog by usuwane i s usuwane w drugim kroku rozumowania. Makinson zdaje sobie spraw z tego faktu i szczerze przyznaje: Relacje konsekwencji zaloe osiowych |K s, jak widzielimy, wzorcowo monotoniczne. Niemonotoniczno bdzie jednak wynikiem tego, e dopucimy, aby przeslanki ukryte w tle ze zbioru K zmienialy si w zalenoci od przeslanek ze zbioru A. Mówic bardziej precyzyjnie, bdzie tak, jeli pozwolimy, aby ta cz przeslanek ze zbioru K, której aktualnie uywamy, zmieniala si w okrelony sposób w zalenoci od przeslanek ze zbioru A. Stanie si tak, jeli zaloymy warunek niesprzecznoci i dopucimy zmniejszanie iloci uywanych przeslanek z K w przypadku, gdy s one w konflikcie z przeslankami ze zbioru A9. Mamy tu wyrane stwierdzenie, e nie ma mowy o spelnieniu definiensa definicji inferencji niemonotonicznej. Zbiór przeslanek si zmienia w ten sposób, e uycie niektórych przeslanek z K, faktycznie uytych (!) w pierwszym kroku rozumowania, jest zablokowane w kroku drugim. Makinson 1994: 3031. Logiczna analiza operacji zdefiniowanych w trzech konstrukcjach D. Makinsona Innymi slowy, uycie tego samego symbolu ,,CK" w przypadku inferencji z dwóch rónych zbiorów A oraz B jest mylce. Sugeruje bowiem, e w obu przypadkach uyty zostanie caly zbiór K. Tymczasem tak wlanie nie jest. Dlatego zamiast ,,CK(A)" oraz ,,CK(A È B)" nalealoby pisa ,,CKA(A)" oraz ,,CKAÈB(A È B)". W kadym innym przypadku notacja ta bylaby jak najbardziej uzasadniona, jednak w sytuacji, gdy naley rozstrzygn problem ewentualnej niemonotonicznoci badanej operacji, notacja ta jest niedopuszczalna, bo umoliwia bldn interpretacj. Pozór niemonotonicznoci uzyskuje si piszc: ,, Î CK(A) i Ï CK(A È {}), dla pewnych , Î L", który jednak znika, gdy napiszemy: ,, Î CKA(A) i Ï CKAÈ{}(A È {}), dla pewnych , Î L". Zbiór K nie jest przecie zbiorem przeslanek faktycznie wykorzystywanych w kadym moliwym kroku rozumowania. Jest on zbiorem, z którego w kadym kroku rozumowania wybiera si wylcznie ,,odpowiednie" przeslanki, kierujc si dwoma kryteriami. Jedno nakazuje uniknicie sprzecznoci zbioru uywanych przeslanek, drugie za maksymalne wykorzystanie zbioru K. Reasumujc, konsekwencja domylnych zaloe, zamiast definiensa definicji inferencji niemonotonicznej, spelnia raczej nieciekawy z logicznego punktu widzenia warunek: Dla pewnych p, A1, A2, takich, e A1 ¹ A2, (A1 | p i nieprawda, e A2 | p), niemajcy, oczywicie, nic wspólnego ani z monotonicznoci, ani z niemonotonicznoci. 2b. Ograniczenie zbioru wartociowa Druga metoda generowania rzekomo niemonotonicznych operacji czy relacji bazuje na ograniczeniu zbioru V wszystkich wartociowa boole'owskich do jego pewnego podzbioru W. Jak zauwaa Makinson, w efekcie otrzymujemy prawie takie same operacje konsekwencji jak te z zaloeniami w tle. Tym razem wyrónienie niektórych sporód wszystkich wartociowa boole'owskich jest podstaw okrelenia tzw. konsekwencji wartociowa osiowych. Niech W Í V bdzie zbiorem boole'owskich wartociowa formul jzyka, za A Í L, x Î L. Wówczas x jest konsekwencj zbioru A modulo zbiór wartociowa W (symbolicznie A |W x lub x Î CnW(A)) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego wartociowania v Î W, jeli v(A) = 1, to v(x) = 1. Operacja (relacja) konsekwencji jest konsekwencj wartociowa osiowych wtedy i tylko wtedy, gdy pokrywa si z pewn operacj CnW (relacj |W) dla jakiego zbioru wartociowa W. Tak jak w poprzednim przypadku, otrzymana tu logika jest nadklasyczna: (Cn £ CnK, |K Í |K). Naturalnie CnW i |W nie spelniaj warunku struktu- Piotr Lukowski ralnoci. Jednak w przeciwiestwie do konsekwencji zaloe osiowych, konsekwencja wartociowa osiowych nie musi by zwarta. Jest to przyczyn uycia slowa ,,prawie" w stwierdzeniu, e zastosowanie wartociowa osiowych daje prawie te same operacje czy relacje konsekwencji, co zastosowanie zaloe osiowych. Dokladniej, dla dowolnego K Í L, CnK = CnW, jeli W = {v Î V: v(K) = 1}. Zatem kada operacja konsekwencji zaloe osiowych jest pewn operacj konsekwencji wartociowa osiowych. Odwrotna zaleno nie zachodzi. Jedynie kada zwarta operacja konsekwencji wartociowa osiowych jest pewn operacj konsekwencji zaloe osiowych. Operacja konsekwencji CnW (relacja konsekwencji |W) wartociowa osiowych W jest podstaw zdefiniowania operacji CW (relacji |~W) wartociowa domylnych. Konstrukcja ta nie jest jednak prostym powtórzeniem poprzedniej. Jest od tamtej bardziej skomplikowana i pochodzi od Shohama10. Sporód wszystkich wartociowa zbioru W istotne bd tylko te, które spelniaj wszystkie przeslanki zbioru A i które wród wszystkich wartociowa spelniajcych A s elementami minimalnymi w sensie pewnej relacji porzdkujcej zbiór W. Operacje lub relacje niemonotoniczne s wic okrelane nie przy pomocy samego zbioru W, lecz tzw. modelu preferencji, bdcego zbiorem W uporzdkowanym przez odpowiedni relacj. Para áW, <ñ jest modelem preferencji, jeli W Í V, za < jest przeciwzwrotn, przechodni relacj okrelon na W. Formula x jest preferowan konsekwencj zbioru A (symbolicznie: A |~< x) wtedy i tylko wtedy, gdy v(x) = 1 dla kadego wartociowania v Î W, które jest minimalne wród wartociowa z W spelniajcych A. Konsekwencj preferencji, zwan take konsekwencj wartociowa domylnych, jest ta relacja (operacja), która pokrywa si z relacj |~< dla jakiego modelu preferencji áW, <ñ. Niech AW = {v Î W: v(A) = 1}11, za min<AW jest zbiorem wszystkich elementów minimalnych w AW. Wówczas: A |~< x wtw v(x) = 1, dla kadego v Î min<AW. Zdaniem Makinsona, konsekwencje preferencji s niemonotoniczne. Za Makinsonem przyjmijmy, e jzyk ma jedynie trzy symbole zda atomowych: p, q, r. Niech ponadto W = {v1, v2} takie, e v1(p) = v2(p) = 1, v1(q) = 0, v2(q) = 1, v1(r) = 1, v2(r) = 0. Relacja < porzdkuje zbiór W nastpujco: v1 < v2. Wówczas {p} |~< r . Faktycznie, {v1} jest zbiorem wszystkich elementów minimalnych w zbiorze wartociowa spelniajcych {p}, ponadto v1(r) = 1. Nie jest jednak prawd, e {p, q} |~< r, gdy {v2} jest zbiorem wszystkich Shoham 1988. Naturalnie v(A) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy v(x) = 1 dla kadego x A. Logiczna analiza operacji zdefiniowanych w trzech konstrukcjach D. Makinsona elementów minimalnych w zbiorze wartociowa spelniajcych {p, q}, a v2(r) = 0. Jak wida, mamy tu do czynienia z niemoliwym do zakwestionowania przypadkiem niemonotonicznoci. W istocie, z trzech zaproponowanych przez Makinsona konstrukcji jedynie ta faktycznie wydaje si nie by monotoniczna. Problem jest jednak w tym, e konsekwencje preferencji nie definiuj adnej logiki, a wic take i monotonicznej. Mamy tu bowiem do czynienia z tak dalece posunit arbitralnoci w ustalaniu, które zdania maj wynika z danego zbioru przekona, e a trudno jest sobie wyobrazi, e mona byloby osign wiksz swobod w tej kwestii. Istotnie, kady zbiór wartociowa okrela pewn konkretn logik, do precyzyjnie ustalajc jej reguly. Tutaj wybór zbioru W jest zaledwie punktem wyjcia przy ustalaniu metody okrelania inferencji. Ustalajc porzdek na zbiorze W, uwalniamy si od logiki zakodowanej tym zbiorem. Wybór relacji porzdkujcej jest de facto ustalaniem hierarchii wanoci wartociowa przez wskazanie wartociowa w danych okolicznociach najwaniejszych, czyli tych, pod którymi, z pewnego punktu widzenia, nie ma ju adnych innych. Ta arbitralno sprawia, e w zbiorze W pewne wartociowania s waniejsze od innych. Tylko te ,,najwaniejsze" w danym przypadku wartociowania mog by wykorzystywane. Dobrze to wida na podanym przez Makinsona powyszym przykladzie. Gdyby wzi pod uwag caly zbiór W = {v1, v2}, to nie byloby prawd ani {p} |~W r, ani {p, q} |~W r. Tymczasem zamiast calego zbioru W uwzgldnia si jedynie to wartociowanie, które z jakich arbitralnych wzgldów jest uprzywilejowane waniejsze od wszystkich pozostalych. Czynnik pozalogiczny, jakim jest ustalanie hierarchii wanoci wartociowa oraz wykorzystanie tylko tych niektórych, wskazanych przez relacj porzdkujc, wplywa na uzyskiwan inferencj w sposób zgodny z pragnieniami. Jestemy w stanie udowodni dokladnie to, co tylko chcemy, i to dysponujc dowolnym zbiorem A oficjalnie uznanych przeslanek, byleby tylko zbiór A nie byl sprzeczny. Jedynie niesprzeczno zbioru A sprawia, e trudno jest tu mówi o niezrealizowanym marzeniu marksistów, czyli o bliej nierozpoznanej logice dialektycznej, która miala umoliwia dowodzenie tego, co tylko zostalo przez kogo uznane za sluszne czy potrzebne12. Na marginesie naley zauway, e bez wtpienia logika dialektyczna powinna by niemonotoniczn. Mona zatem zaryzykowa stwierdzenie, e w przypadku konsekwencji wartociowa domylnych nie tylko nie ma monotonicznoci, ale nie ma te adnej konkretnej logiki. Chcc wyprowadzi x z jawnego zbioru przesla12 Nawizanie do marksistowskiej logiki dialektycznej nie jest tu przejawem nawet najmniejszej zloliwoci. Uwany czytelnik sam dostrzee, e druga konstrukcja Makinsona uwalnia nas od ,,dyktatu" jakiegokolwiek stalego zbioru regul, co w konsekwencji daje efekt inferencji zgodnej z yczeniami. Piotr Lukowski nek A, wystarczy wybra konkretne (np. dwa) wartociowania i odpowiednio je uporzdkowa. Póniej, na mocy przyjtej definicji, zostan wskazane niektóre sporód tych wartociowa (moe nawet tylko jedno z nich), przy których x jest prawdziwe i które gwarantuj prawdziwo wszystkich przeslanek z A. Czy tu jest jeszcze logika, skoro nie ma ustalonych regul inferencji? Czy nie prociej stwierdzi zwyczajnie: ,,uwaamy, e x ma wynika z A, i ju"? Czemu ma sluy ta cala aparatura? Czy ukryciu prawdy o arbitralnoci w uznawaniu inferencji? 2c. Zastosowanie dodatkowych regul przeksztalcania zda Podstaw trzeciej metody generowania rzekomo niemonotonicznej konsekwencji jest moliwo stosowania dodatkowych regul przeksztalcania zda. Kada taka regula jest uporzdkowan par zda á, xñ. Zatem zbiór regul jest relacj binarn R okrelon na iloczynie kartezjaskim L2. Dla dowolnego zbioru zda X Í L i dowolnego zbioru regul R Í L2, obrazem X ze wzgldu na R jest zbiór zda R(X) = {y: áx, yñ Î R, dla pewnego x Î X}. Zbiór X jest domknity ze wzgldu na R, jeli R(X) Í X. Chcc odwola si do intuicji, Makinson nazywa zbiór regul R zbiorem domylnych ,,biletów inferencyjnych", gotowych do ,,rozpoczcia podróy" z dowolnego zbioru przeslanek13. Dla okrelenia konsekwencji regul osiowych stosuje terminy ,,potencjalny zbiór przeslanek" oraz ,,potencjalna konkluzja". Niech wic A bdzie potencjalnym zbiorem przeslanek, za x potencjaln konkluzj. Wówczas x jest konsekwencj A modulo zbiór regul R (symbolicznie: A |R x lub x Î CnR(A)) wtedy i tylko wtedy, gdy x jest elementem kadego nadzbioru A, który jest domknity zarówno na Cn, jak i na R. Zatem: CnR(A) = Ç{X: A Í X, Cn(X) Í X oraz R(X) Í X}. Dana operacja (relacja) jest konsekwencj regul osiowych wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczna z operacj CnR (relacj |R) dla pewnego zbioru regul R. Naturalnie otrzymana w ten sposób logika jest nadklasyczna (Cn £ CnR, | Í |K). Jest te monotoniczna. Co ciekawe, zbiór operacji konsekwencji osiowych zaloe jest czci wspóln zbiorów operacji konsekwencji osiowych wartociowa oraz operacji konsekwencji osiowych regul. Podana wyej posta konsekwencji regul osiowych nie jest stosowana w konstrukcji odpowiadajcej jej niemonotonicznej konsekwencji regul domylnych. Makinson posluguje si innym okreleniem wyjciowej konsekwencji, bazujcym na uporzdkowaniu zbioru regul R. Najpierw zauwaa, e: Makinson 2005: 87. Logiczna analiza operacji zdefiniowanych w trzech konstrukcjach D. Makinsona CnR(A) = È{An: n < }, gdzie A0 = Cn(A) i An+1 = Cn(An È R(An)), Nastpnie, indeksujc reguly zbioru R liczbami naturalnymi, otrzymuje uporzdkowany zbiór regul áRñ = {áai, xiñ: i < }, który z kolei umoliwia indukcyjne zdefiniowanie operacji CnáRñ(A): CnáRñ(A) = È{An: n < }, gdzie A0 = Cn(A) i An+1 = Cn(An È {x}), gdzie áa, xñ jest pierwsz regul w áRñ tak, e a Î An, ale x Ï An. W przypadku, gdy nie ma takiej reguly, An+1 = An. Zbiory An wystpujce w definicji CnR(A) nie s tymi samymi, które definiuj CnáRñ(A). Mimo to: CnR(A) = CnáRñ(A). Naturalnie równo ta wiadczy o dowolnoci uporzdkowania zbioru áRñ. Bez wzgldu na przyjty porzdek, i tak otrzymamy t sam konsekwencj regul osiowych CnR(A). Definicja druga konsekwencji regul osiowych, bazujca na uporzdkowaniu zbioru regul, ulatwia zdefiniowanie konsekwencji uporzdkowanych regul domylnych, ujawniajc take istot nowo otrzymanej konsekwencji:14 ,,podstawow ide (...) jest kontrolowanie dodawanych singletonów i dopuszczanie stosowania regul tylko wtedy, gdy nie powoduj sprzecznoci". CáRñ(A) = È{An: n < }, gdzie A0 = Cn(A) i An+1 = Cn(An È {x}), gdzie áa, xñ jest pierwsz regul w áRñ tak, e a Î An, x Ï An i x nie jest sprzeczne z An. W przypadku, gdy nie ma takiej reguly, An+1 = An. Stojca na stray niesprzecznoci selekcja okrelajca, których regul mona uy, a których uy nie wolno, sprawia, e w przeciwiestwie do przypadku CnáRñ, w którym takiej selekcji nie ma, uporzdkowanie zbioru R ma wplyw na posta CáRñ. Zdaniem Makinsona, konsekwencja uporzdkowanych regul domylnych jest operacj (relacj) niemonotoniczn. Swoj tez ilustruje on nastpujcym przykladem. Niech A = {a}, B = {a, x}, R = {áa, xñ}. Wówczas CáRñ(A) = Cn({a, x}) i CáRñ(B) = Cn(B) = Cn({a,x}). Pod wzgldem niespelniania definicji operacji (relacji) niemonotonicznej konsekwencja uporzdkowanych regul domylnych przypomina pierwsz, w kolejnoci omawiania, konsekwencj zaloe domylnych. W zalenoci od Makinson 2005: 95. Piotr Lukowski zbioru przeslanek pewna regula jest uyta lub pominita. Mona wrcz stwierdzi, e przy pewnym uporzdkowaniu zbioru regul, dla kadego zbioru przeslanek istnieje wlaciwy dla tego zbioru cig regul. Kady zbiór przeslanek ma swój wlasny zbiór regul. Sytuacja ta nie ma nic wspólnego z niemonotonicznoci. Mamy tu raczej wielk mnogo logik, kadorazowo ,,dobieranych" do zbioru aktualnych przeslanek, czyli do A. Niech áRñA oznacza uporzdkowany zbiór tych regul z R, które faktycznie maj zastosowanie w przypadku zbioru przeslanek A. Wówczas zbiorami zda wynikajcych ze zbiorów przeslanek A, B, C s odpowiednio: CáRñA(A), CáRñB(B), CáRñC(C). W szczególnoci warunek, który powinien okrela operacj niemonotoniczn, ma tu posta: Dla pewnych p, q, A, takich, e q Ï A (p Î CáRñA(A) i p Ï CáRñ(AÈ{q}) (A È {q})). Z pewnoci warunek ten nie definiuje niemonotonicznoci. 2d. Przyczyna zludzenia niemonotonicznoci w konstrukcjach formalnych We wszystkich trzech omówionych tu konstrukcjach konsekwencje domylnych zaloe, wartociowa i regul zaledwie sprawiaj wraenie niemonotonicznych. Najblisz spelnieniu definicji inferencji niemonotonicznej jest konsekwencja wartociowa domylnych. Jest ona jednak operacj (relacj) zdefiniowan nie przez jak klas wartociowa, ale przez pewne, niejednokrotnie pojedyncze, arbitralnie wyselekcjonowane wartociowania, które okrel inferencj wyprowadzajc podane wnioski z danego zbioru przeslanek. W efekcie trudno jest w przypadku tej konsekwencji mówi o tym, e reprezentuje jak logik. Skoro wic nie ma tu logiki, w szczególnoci nie moe by równie mowy o jej monotonicznoci. Tymczasem brak monotonicznoci z definicji oznacza niemonotoniczno. Dlatego wlanie druga konstrukcja Makinsona robi wraenie niemonotonicznej. Bez wtpienia bylaby tak, gdyby okrelala logik, a nie dawala peln dowolno w ustalaniu, co wynika, a co nie, z danego zbioru zda. Inaczej problem niemonotonicznoci wyglda w przypadku dwóch pozostalych propozycji. Zludzenie niemonotonicznoci jest w nich osignite w bardzo podobny sposób. Polega on na tym, e dany symbol reprezentuje nie jeden obiekt, lecz pewn klas rónych obiektów. Prosta zamiana takiego symbolu na klas symboli adekwatn dla oznaczanej klasy obiektów sprawia, e wraenie niemonotonicznoci znika. Zwykla precyzja w poslugiwaniu si symbolami pokazuje niespelnienie definicji inferencji niemonotonicznej. W przypadku pierwszej konstrukcji, nazwy ,,CK(A)", ,,CK(B)", ,,CK(C)" sugeruj, e ozna- Logiczna analiza operacji zdefiniowanych w trzech konstrukcjach D. Makinsona czaj zbiory zda wynikajcych odpowiednio ze zbiorów przeslanek A È K, B È K, C È K. Tak jednak nie jest. W kadym z tych przypadków przeslankami s jedynie niektóre zdania ze zbioru K, za kadym razem dostosowane odpowiednio do zbioru A, B, C. Wystarczy wic, aby notacja odpowiadala faktom, a mylne wraenie znika. Zwykle indeksowanie litery ,,K" nazw odpowiedniego zbioru (tj. A, B, C) rozwizuje problem. Zazwyczaj taka korekta notacji nie jest potrzebna, nie jest wic i stosowana. Jednak w sytuacji, gdy chodzi o rozstrzygnicie kwestii ewentualnej niemonotonicznoci operacji CK, usunicie tej wieloznacznoci staje si konieczne. Nie jest przecie wszystko jedno, czy napiszemy: ,,dla pewnych p, q Î L (p Î CK(A) i p Ï CK(A È {q}))", czy ,,dla pewnych p, q Î L (p Î CKA(A) i p Ï CKAÈ{q}(A È {q}))". Pierwszy zapis wskazuje na niemonotoniczno, podczas gdy drugi j wyklucza. Zupelnie podobna sytuacja ma miejsce w przypadku trzeciej konstrukcji. Wystarczy uy nazw ,,CáRñA", ,,CáRñB", ,,CáRñC" w miejsce wspólnej dla nich wszystkich nazwy rodzaju ,,CáRñ", a wykazanie niemonotonicznoci tak okrelonej operacji (relacji) nie bdzie moliwe, bo jak wida, nie ma tutaj jednej operacji, lecz pewna ich wizka. Konstrukcje Makinsona maj ogromne znaczenie, gdy znane od lat jako niemonotoniczne konstrukcje typu circumscription, deafult logic i inne, s ich szczególnymi przypadkami. Okazuje si jednak, e co najmniej problematyczne jest uznanie, i na gruncie logiki mona w ogóle zdefiniowa operacj (relacj), która czynilaby zado trudnemu do spelnienia warunkowi niemonotonicznej inferencji. 3. Podsumowanie Nawet prosta refleksja nad niemonotonicznoci uwiadamia, e ten popularny wród logików fenomen okazuje si nie tylko czym nieintuicyjnym, lecz równie trudnym do formalnego skonstruowania. Przy czym trudno ta ma wlanie logiczne podstawy. Jeden staly zbiór regul, okrelajcy stal, konkretn inferencj oraz moliwy jedynie do poszerzania zbiór nieusuwalnych przeslanek oba bdc warunkami koniecznymi dla tego, aby w ogóle móc mówi o niemonotonicznoci sprawiaj, e staje si ona niemoliwa do realizacji. Czsto jako argument bronicy istnienia niemonotonicznoci stwierdza si, e przecie chodzi tu wlanie o to, e pewne wczeniej dobrze pracujce przeslanki w wietle nowych faktów trac swoje znaczenie i nie mog Piotr Lukowski by ju uywane. Oczywicie takie sytuacje s nagminne i trudno o bardziej yciowy problem dotyczcy naszego codziennego mylenia. Dlaczego jednak na okrelenie tego naturalnego i powszechnego fenomenu uywa si nazwy ,,niemonotoniczno", posiadajcej precyzyjn definicj, zupelnie nieodpowiadajc temu zjawisku? Wydaje si, e w praktyce logicznej zwyklo si po prostu ignorowa definicj niemonotonicznoci, nazywajc niemonotonicznoci kade rozumowanie, które w którym z kolejnych kroków odrzuca wczeniej wyprowadzone wnioski. Tymczasem rzeczywisto logiczna jest nieublagana. Zalómy bowiem, e sporód przeslanek p1,..., pn zbioru Z do wyprowadzenia p zostaly wykorzystane przeslanki p2, p3, p5. Naturalnie p2, p3, p5 nale równie do zbioru Z È {q}, czymkolwiek by q bylo. Co wic stoi na przeszkodzie, aby powtórzy dokladnie to samo rozumowanie w przypadku rozszerzonego zbioru Z È {q} i ponownie z przeslanek p2, p3, p5 wyprowadzi p? Oczywicie nic. Jednak zwolennicy niemonotonicznoci twierdz, e t przeszkod jest wlanie nowa przeslanka q, która ,,uniewania" przynajmniej jedn z przeslanek wykorzystanych do wyprowadzenia p. Taka wykladnia niemonotonicznoci pozostaje w jawnej sprzecznoci z definicj niemonotonicznoci. Jest tu bowiem wyrane przyznanie, e p nie mona wyprowadzi ze zbioru Z È {q}, gdy nowa przeslanka q uniemoliwia skorzystanie z której z przeslanek p2, p3, p5. Zalómy, e p2 jest t ,,zablokowan" (uniewanion) przez q przeslank. Nie mogc jej uy, faktycznie nie mona ze zbioru Z È {q} wyprowadzi p. W wyjanieniu tym tkwi jednak zasadniczy bld. Jest nim stwierdzenie, e w nowej sytuacji p nie wynika ze zbioru Z È {q}. Tymczasem prawd jest, e wniosek p nie wynika ze zbioru (Z {p2}) È {q}. Fakt ten nie jest skutkiem adnej niemonotonicznoci mylenia, gdy zbiór (Z {p2}) È {q} nie jest nadzbiorem zbioru Z. Nie jest przecie prawd, e Z Í (Z {p2}) È {q}, jeli tylko p2 Î Z. Stosowane jest równie inne, cho podobne wytlumaczenie. Otó zablokowan przez now informacj przeslank jest taka, która dotychczas nie byla jawnie wypowiedziana, chocia dla wycignicia wniosku byla niezbdna. Ale i tu mamy zaprzeczenie niemonotonicznoci. Skoro bowiem jaka przeslanka jest niezbdna do wycignicia danego wniosku, to nie ma znaczenia, czy j jawnie wypowiemy, czy potraktujemy jako entymemat i tak bdzie t uywan we wnioskowaniu przeslank, która w kolejnym kroku rozumowania zostaje odrzucona. Przeslanka, z której rezygnujemy w kolejnym kroku rozumowania, moe mie posta implikacji p1 p2. Wówczas zmieniamy zbiór akceptowanych zwizków wynikania, a przez to zmieniamy zbiór stosowanych przez nas regul. W pierwszym kroku, majc p1, mielimy p2, teraz, w drugim kroku tego samego procesu rozumowania, nie mamy p2 nawet wtedy, gdy mamy p1. Oczywicie zmiana zbioru przeslanek, take tych w postaci implikacji, moe by osignita poprzez zmian wartociowa. Logiczna analiza operacji zdefiniowanych w trzech konstrukcjach D. Makinsona Analiza wybranych tu konstrukcji, zarówno formalnych, jak i nieformalnych, pokazuje, e istniejce rzekomo przypadki niemonotonicznoci nierozerwalnie wi si ze zmian przeslanek lub zmian regul. Oznacza to jednak, e de facto nie s to przypadki niemonotonicznoci, gdy nie spelniaj jednoznacznej, precyzyjnej jej definicji. Podobnie powane nieporozumienie dotyczy przykladów majcych ilustrowa rzekom niemonotoniczno naszego mylenia. Dodajmy, e przyklady te s bardzo yciowe i ciekawe (moe poza trywialnym przypadkiem ,,samochodu zaparkowanego przed domem") i jako takie powinny zosta wlaciwie zdyskontowane, ale w sposób powany i zgodny z warsztatem logicznym. Tkwi w nich duy potencjal, majcy moc inspirujc dla logików interesujcych si formalizacj sposobów ludzkiego mylenia. Ich warto polega na tym, e ilustruj faktycznie rónorodne sposoby mylenia potocznego. Dlatego formalizacja tych przypadków, która uwzgldnialaby ich odrbno, bylaby niezwykle cenna. Z podobnych powodów, niezwykl warto maj dyskutowane wyej konstrukcje Makinsona. Gdy odrzuci si splaszczajc wszystko perspektyw niemonotonicznoci, ukazuj si one w pelnej krasie, pokazujc rónorodno zakodowanych w nich schematów mylenia codziennego. Monotoniczna analiza trzech propozycji Makinsona uwiadomilaby natychmiast, jak bliskie naszemu myleniu s wszystkie trzy schematy. Przygotowana przeze mnie z Patrycj Maciaszek kolejna praca Kognitywna interpretacja operacji zdefiniowanych w trzech konstrukcjach Davida Makinsona jest jedn z moliwych nowych interpretacji. Oferuje ona spojrzenie na dzielo Makinsona z pozycji kognitywistyki oraz psychologii poznawczej15. Bibliografia Alchourrón C., Gärdenfors P., Makinson D. (1985), On the Logic of Theory Change: Contraction Functions and Their Associated Revision Functions, ,,Theoria" 48, s. 1437. Ginsberg Matthew L. (1994), AI and Nonmonotonic Reasoning, w: Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming, Vol. 3, ed. by Dov M. Gabbay, C.J. Hogger, J.A. Robinson, Oxford: Clarendon Press, s. 133. Lukaszewicz Witold (1990), Non-monotonic Reasoning: Formalization of Commonsense Reasoning, Ellis Horwood. Lukowski Piotr (2013), Is Human Reasoning Really Nonmonotonic?, ,,Logic and Logical Philosophy" 22, 1, s. 6373. Praca ta ukae si w nastpnym numerze ,,Przegldu Filozoficznego" Piotr Lukowski Poole David (1994), Default Logic, w: Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming, Vol. 3, ed. by Dov M. Gabbay, C.J. Hogger and J.A. Robinson, Oxford: Clarendon Press, s. 189215. Makinson David (1994), General Patterns in Nonmonotonic Reasoning, w: Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming, Vol. 3, ed. by Dov M. Gabbay, C.J. Hogger, J.A. Robinson, Oxford: Clarendon Press, s. 35110. Makinson David (2005), Bridges from Classical to Nonmonotonic Logic, London: King's College Publications [Od logiki klasycznej do niemonotonicznej, przel. Tomasz Jarmuek, Wydawnictwo Naukowe UMK, Toru 2008]. Shomam Yoav (1988), Reasoning About Change, Cambridge, USA: MIT Press. Streszczenie Niemonotoniczno jest tematem doskonale w logice znanym i cieszcym si nieslabnc popularnoci. Wydaje si te dobrze ugruntowana teoretycznie. Po dlugim czasie, jaki uplynl od ukazania si w latach 70. pierwszych publikacji traktujcych ten temat formalnie16, niemonotoniczno jest uwaana za fenomen nie tylko charakteryzujcy nasze mylenie i w tym te sensie realnie istniejcy, lecz take powszechny. Opinia ta nie jest jednak dalej zglbiana, a problem nie jest weryfikowany. Podejcie do tego powanego logicznego zagadnienia bazuje na szeregu ,,yciowych" przykladów, których rzekoma niemonotoniczno jest oczywista: przecie ,,ludzie myl niemonotonicznie, od kiedy w ogóle s ludmi"17. Okazuje si, e wielokrotnie za rozumowania niemonotoniczne uznaje si takie, w których w jakim momencie nastpuje odrzucenie wniosku wyprowadzonego w kroku poprzednim. Tymczasem samo odrzucenie wczeniej wyprowadzonego wniosku nie moe by uwaane za przejaw niemonotonicznoci. Bylby to bowiem powany logiczny bld. Bldów w podobnie nietrafny sposób interpretujcych rozumowania jest jednak znacznie wicej. Nawet wane i niezwykle interesujce trzy konstrukcje Davida Makinsona s rozumiane w sposób, który uniemoliwia docenienie ich prawdziwej wartoci. S bowiem traktowane jako definiujce operacje (czy relacje) niemonotoniczne18. Konstrukcje te zasluguj jednak na wlaciw ocen, pokazujc, e perspektywa niemonotonicznoci nie tylko je splyca, ale równie utrudnia formalizacj tych technik, którymi posluguje si czlowiek w procesie mylenia. Ginsberg 1994. ,,Of course, humans have been reasoning nonmonotonically for as long as they have been reasoning at all" (Makinson 1994: 36). 18 Makinson 2005.
Journal
Przeglad Filozoficzny - Nowa Seria – de Gruyter
Published: Jun 1, 2013